Question

wyznacz równania osi symetrii odcinka AB
a)A(-2; -3) B(0; 3)
b) A(-2;-10) B(4;8) Proszę o wytłumaczenie skąd się w przykładzie a) bierze y= -1/3x-1/3, jest jeszcze y=3x+3

Answer 1

*Najpierw musimy wyznaczyć równanie prostej przechodzacej przez dw podane punkty.

Korzystamy więc ze wzoru funkcji liniowej y=ax+b.Do tej funkcji kolejno podstawiamy osobno

każdy z punktów i tworzymy z nich układ równań w celu znalezienia współczynnika a i b.

 

pkt A(-2;-3)              (1)            -3=a*(-2)+b

pkt B(0,3)                (2)              3=a*0    +b

 

Od (1)równania odejmujemy(2)

        

                                                  -3-3=-2a

                                                      -6=-2a    //(-2)

                                                       a=6/2

                                                       a=3

 

(+b i -b zredukowały się a 0 nie wpisuje się)

 

Obliczyliśmy współczynnik a ale mamy jeszcze obliczyć współczynnik b więc np do (1)

równania za  a  podstawiamy 3 i otrzymujemy:

                                                     -3=3*(-2)+b

                                                     -3=-6+b

                                                      b=3

 

otrzymujemy więc równanie prostej  y=3x+3  (taki sam wynik otrzymalibyśmy dokonując

podstawienia a do (2)równania0.

 

*teraz z kolei musimy znaleźć środek odcinka IABI przez ktory będzie przechodziła jego

symetralna  i wyznaczamy ją ze wzoru:

 

                    S=[(x+x1)/2 , (y+y2)/2 ]

 

                    S=[(-2+0)/2 , (-3+3)/2 ]       S=[(-2/2 ; (0/2)]     

 

                                   S=(-1,0)

 

*teraz przystępujemy do wyznaczania prostej prostopadłej(symetralnej) do prostej  y=3x+3

 

*zaczynamy od wyznaczenia współczynnika kierunkowego a ,który musi być liczbą odwrotną

 i preciwną do współczynnika 3.Taka liczbą będzie -1/3.Można ją też szukać jako iloczynu

a1 i a2 ,który musi wynosić -1   (a*a1=-1).

 

*Mając już ten współczynnik możemy wstępnie ustalic część równania symetralnej a wiec

 

         y=-1/3x+b

 

*dalej więc szukamy współczynnika b i dlatego do wstępnie ustalonej symetralnej

y=-1/3+b wstawimy dane punktu S(-1,0) w celu ustalenia współczynnika b

       0=-1/3*(-1)+b

       0=1/3+b

       b=-1/3

 

a zatem prosta prostopadła (symatralna)do prostej y=3x+3  jest o równaniu y=-1/3x-1/3

 

*aby sprawdzić czy faktycznie tak jest przedstawiamy te proste graficznie w układzie

 współrzędnych.

 

b)

 

*w drugim przykładzie pozwolę sobie wyznaczyć na wstępie równanie prostej AB ze

wzoru:

 

(X2-X1)(Y-Y2)=(Y2-Y1)(X-X2)

 

*do tego wzoru podstawiam dane z punktu A(-2,-10)  B(4,8)

 

(4-(-2))(Y-8)=(8-(-10))(X-4)

 

 (4+2)(y-8)=(8+10)(X-4)

 

     6(y-8)=18(x-4)

    6y-48=18x-72

       6y=18x-24   //:6

   

         y=3x-4

 

*obliczamy  środek prostej y=3x-4  ,która przechodzi przez punkty A(-2,-10)   B(4,8)

 

                   S=[(-2+4)/2  ;  (-10)+8)/2 ]       S=(1,-1)

*ustalamy współczynnik symetralnej i jest to: -1/3  (wytłumaczyłem w pkt a zadania)

 a więc wstępne równanie tej symetralnej to: y=-1/3x+b

 

*teraz podstawiam dane punktu S(1,-1) w celu ustalenia współczynnika b

                           -1=-1/3*1+b

                             b=-1+1/3=-3/3+1/3=-2/3

                             b=-2/3

 

tak więc prostą prostopadłą (symetralną)do prostej AB y=3x-4  jest prosta o równaniu

 

y=-1/3x-2/3

 

Troche to schodzi przy tych obliczeniach.