Question

Kasia upiekła ciasto przypominające kształtem półkulę o objętości 2/3π dm ³. Ciasto to postanowiła posypać po wierzchu startą czekoladą. Oblicz pole powierzchni ciasta, które Kasia musi posypać czekoladą? Czy ciasto upieczone przez Kasię zmieści się na kwadratowym talerzu o przekątnej trzy drugie (w ułamku) √3 dm?

Answer 1

Kasia upiekła ciasto przypominające kształtem półkulę o objętości 2/3π dm ³. Ciasto to postanowiła posypać po wierzchu startą czekoladą. Oblicz pole powierzchni ciasta, które Kasia musi posypać czekoladą? Czy ciasto upieczone przez Kasię zmieści się na kwadratowym talerzu o przekątnej trzy drugie (w ułamku) √3 dm?


V=1/2 *4/3πr³=2/3π dm ³ /*6
4πr³=4π /:4π
r³=1
r=1dm

P=½Pc=½*4πr²=2πr²
P=2π*1²=2π dm²


a²+a²=d²
d²=2a²
(³/₂ √3)²=2a²
27/4=2a² /:2
a²=27/2
a=3√3/√2 *√2/√2
a=3√6/2 dm

2r=2*1=2dm - średnica ciasta

a=3√6/2 ≈3*2,45/2
a≈3,67dm -bok talerza

czyli ciasto zmieści się na talerzu

Answer 2

Objętość całej kuli wynosi 4/3πr³=> objętość półkuli wynosi (1/2)x(4/3)πr³
objętość naszej półkuli wynosi (2/3)π

układamy równanie aby wyliczyć promień r:
(1/2)x(4/3)πr³=(2/3)π
(2/3)πr³=(2/3)π
r³=1
r=1

Pole powierzchni kuli to 4πr²=> pole powierzchni półkuli to (1/2)x4πr²=2πr²

nasze r=1=> pole powierzchni ciasta które Kasia będzie musiała posypać wynosi
2π

Aby ciasto zmieściło się na tym talerzu, jego średnica musi być < lub = od długości boku tego talerza

długość boku oznaczmy a

dł. przekątnej kwadratu wynosi: a√2

układamy równanie: a√2=(3√3)/2
stąd a=(3√6)/4

liczymy średnicę ciasta d=2r=2x1=2

szacujemy, która z liczb jest większa: d czy a

a w przybliżeniu wynosi 1, 83

czyli a<d

ciasto nie zmieści się na tym talerzu.