Question

1. Cięciwą AB długości 10 tworzy ze średnicą okręgu poprowadzoną z punktu A kąt alfa. Ile wynosi promień tego okręgu jeśli
A) alfa=60. B) alfa =45. C) alfa =30
2. Na trójkąta prostokątny o przeciwprostokatnej długości 3√13cm opisano okrąg. Oblicz długość tego okręgu.
3. Wykaz, że promień okręgu opisanego na trójkącie rownobocznym o boku długości a jest równy a√3/3
4. Na trójkącie prostokątnym równoramiennym opisano okrąg. Wiadomo, że ramię trójkąta ma długość 12 cm. Obliczu promień tego okręgu.
5. W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma 40 stopni. Na tym trójkącie opisano okrąg. Wyznacz miary trzech kątów wypukłych zawartych między promieniami o końcach w kolejnych wierzchołkach trójkąta.
6. Na trójkącie prostokątnym w którym jedna przy prostokątna jest dwa razy dłuższa od drugiej, opisano okrąg o promieniu 2√2 Obliczu pole tego trójkąta

Answer 1

Promień jest równy połowie średnicy.
Jeśli połączymy drugi koniec cięciwy z drugim końcem średnicy to otrzymamy trójkąt prostokątny
(Każdy trójkąt wpisany w okrąg, którego jednym bokiem jest średnica okręgu jest prostokątny)
A)
W trójkącie prostokątnym, w którym jeden kąt ostry jest równy 60*, a drugi 30* (połowa trójkąta równobocznego),  krótsza przyprostokątna (ta na przeciw kąta 30*) jest równa połowie długości przeciwprostokątnej.
W tym przykładzie polowa przeciwprostokątnej to r, a krótsza przyprostokątna to |AB| = 10.
Czyli
         r = |AB| = 10
B)
Jeżeli trojkąt prostokątny ma kąt ostry = 45* to jest równoramienny i jest połową kwadratu o boku = |AB|.
Jego przeciwprostokątna (średnica okręgu) jest równa przekątnej kwadratu.
Czyli
       2r = 10√2 / : 2
         r = 5√2
C)
W trójkącie prostokątnym, w którym jeden kąt ostry jest równy 60*, a drugi 30* (połowa trójkąta równobocznego),  dłuższa przyprostokątna (ta na przeciw kąta 60*) jest równa , gdzie a to przeciwprostokątna.
W tym przykładzie przeciwprostokątna to 2r, a dłuższa przyprostokątna to |AB| = 10.
Czyli
        

2.
Jeśli okrąg został opisany na trójkącie prostokątnym, to przeciwprostokątna trójkąta jest średnicą tego okręgu.
Promień to połowa średnicy:
                                
Długość okręgu:
                      

3.
W trójkącie równobocznym wysokości przecinają się w punkcie, który dzieli je w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka trójkąta
Punkt przecięcia się tych wysokości jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie,
czyli r = 2/3 h
wysokość trójkąta równobocznego z tw. Pitagorasa:

Stąd:
      
Co było do wykazania.

4.
Trójkąt prostokątny równoramienny jest połową kwadratu o boku równym długości ramienia (a=12)
Przekątna kwadratu (d=a√2) jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie
czyli:
        2r = 12√2  / : 2
         r = 6√2
5.
Skoro trójkąt jest równoramienny, to promień łączący środek okręgu z wierzchołkiem o kącie 40*  podzieli ten kąt na dwa równe kąty po 20*
Każdy trójkąt w okręgu, którego dwa boki są promieniami, jest równoramienny, więc ma jednakowe kąty przy podstawie (cięciwie łączącej te dwa promienie)
Stąd:   α = 20*
Z sumy kątów w trójkącie:  β = 180* - α - 20* = 180* - 20* - 20* = 140*
Dwa katy β i kąt tworzą razem kąt pełny o mierze 360*
Stąd:
      

(Wersja alternatywna:
Kąt jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co dany kąt wpisany, więc musi być od niego 2 razy większy:
Skoro trójkąt jest równoramienny to promień łączący środek z wierzchołkiem kąta 40* dzieli resztę kąta pełnego środkowego na pół czyli )

6.
Jeśli krótszą przyprostokątną oznaczymy a = x to dłuższą możemy oznaczyć b =2x
Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych

Jeśli na trójkącie prostokątnym opisano okrąg, to przeciwprostokątna jest średnicą tego okręgu:
         c = 2r = 4√2
Z tw. Pitagorasa: