Question

W trójkącie prostokątnym naprzeciw kąta ostrego α leży przyprostokątna długości a. Oblicz długość pozostałych boków trójkąta, jeśli:

1)a= 5cm, sinα= √3/2
2)a=√6cm, cosα = 0,5

ma wyjść:
1) 5√3/3cm, 10√3/3
2) √2cm, 2√2

Answer 1

Zad.1
sinα = √³/₂
sinα= a/c = √³/₂, gdzie a= 5cm, c jest przeciwprostokątną
√³/₂ = 5cm/c, stąd c= ¹⁰/√₃cm = (10*√3)cm/(√3*√3)
c= ¹⁰√³/₃ cm
{usuwamy niewymierność z mianownika}
b przeciwprostokątna leżąca przy kącie α
a²+ b²= c²
(5cm)²+ b²= (¹⁰√³/₃ cm)²
25cm²+ b² = ¹⁰⁰/₃ cm²
b² = ¹⁰⁰/₃ cm²- 25cm² {¹⁰⁰/₃ - 25 = 33⅓- 25= 8⅓ = ²⁵/₃}
b² = ²⁵/₃ cm²
b= √(²⁵/₃ cm²)
b= √²⁵/√₃ cm = ⁵/√₃ cm = ⁵√³/₃ cm
Odp. Dwa pozostałe boki trójkąta mają długość
⁵√³/₃ cm i ¹⁰√³/₃ cm.
Zad.2
a= √6cm przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta α
cosα = 0,5
z jedynki trygonometrycznej mamy sin²α + cos²α= 1
obliczamy sinα:
sin²α= 1 - cos²α= 1- (0,5)² = 1 - 0,25= 0,75 = ¾
sinα = √³/₂
i dalej jak w zadaniu 1)
sinα= a/c = √³/₂, gdzie a= √6cm, c jest przeciwprostokątną
√³/₂ = √6cm/c, stąd c= ²√⁶/√₃cm = 2(√⁶/√₃)cm = 2√2cm
c= 2√2cm
b przeciwprostokątna leżąca przy kącie α
a²+ b²= c²
(√6cm)²+ b²= (2√2 cm)²
6cm²+ b² = 8cm²
b² = 8cm²- 6cm²
b² = 2cm²
b= √2 cm
Odp. Dwa pozostałe boki trójkąta mają długość
√2cm i 2√2 cm.