Question

W ostrosłupie prawidłowym trojkatnym krawędzie boczne są dwa razy dłuższe od krawędzi podstawy. Wyznacz sinus kata nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do plaszczyzny podstawy wyznacz długośc krawedzi podstawy tak aby objętośc ostrosłupa wynosiła 2/3 √11

proszę o pomoc mam problem rozwiązanim

Answer 1

W ostrosłupie prawidłowym trojkatnym krawędzie boczne są dwa razy dłuższe od krawędzi podstawy. Wyznacz sinus kata nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do plaszczyzny podstawy wyznacz długośc krawedzi podstawy tak aby objętośc ostrosłupa wynosiła 2/3 √11

a - bok podstawy ( trójkąt równoboczny)
b = 2a - krawędź boczna ostrosłupa
hp= 1/2*a√3 - wysokość trójkąta równobocznego
hś - wysokość ściany bocznej ( trójkąta tównoramiennego)
H - wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego
α - kąt nachylenia ściany bocznej ( wysokośi hś) do płaszczyzny podstawy ( do 1/3hp)

sin α = ?
sin α = H : hś =?


1. Obliczam wysokość H ostrosłupa
z trójkata prostokatnego
gdzie: H - przyprostokatna
2/3hp - przyprostokatna
b =2a - przeciwprostokatna

H² + (2/3hp)² = (2a)²
H² + (2/3*1/2*a√3)² = 4a²
H² + (1/3*a√3)² = 4a²
H² + (1/9*a²*3 )= 4a²
H² + 1/3a² = 4a²
H² = 4a² -1/3a²
H² = 12/3a² - 1/3a²
H² = 11/3a²
H = √(11/3a²)
H = a√(11/3)

2. obliczam wysokość hś ściany bocznej
z trójkąta prostokatnego, gdzie:
1/2a - przyprostokatna
hś - przyprostokatna
b = 2a - przeciwprostokatna
(1/2a)² + (hś)² = (2a)²
1/4a² + (hś)² = 4a²
(hś)² = 4a² - 1/4a²
(hś)² = 16/4a² - 1/4a²
(hs)² = 15/4a²
hś = √(15/4a²)
hs = a√(15/4)

3. Obliczam sin α

sin α = H: hś
sin α = ( a√(11/3) : (a√(15/4)
sinα = √(11/3) : √(15/4)
sin α = (√11 : √3) :(√15 : √4)
sin α = (√11 : √3)*( √4 :√15)
sin α = (√11*√4) : (√3*√15)
sinα = ( 2√11 ) : (√3*√3*√5)
sin α = ( 2√11 ) : ( 3√5)
sin α = (2/3)*√(11/5)
sin α = (2/3)*√2,2
sin α ≈ 0,9888

4. Obliczam długośc krawedzi a podstawy tak aby objętośc ostrosłupa wynosiła 2/3 √11
V = 2/3*√11

V = 1/3*Pp*H = 2/3*√11
1/3*1/2*a*hp*H = 2/3*√11
hp = 1/2*a√3

1/3*1/2*a*1/2*a*√3*H = 2/3*√11
1/12 a²*√3* H = 2/3*√11
H = a√(11/3) z poprzednich obliczeń
1/12 a²*√3*a*√(11/3) = 2/3*√11
1/12 a³*√3 *√11 : √3 = 2/3*√11
1/12 a³ *√11 = 2/3√11 /:√11
1/12 a³ = 2/3 /*12
a³ = (2/3)*(12)
a³ = 8
a = ∛8
a = 2 cm

Odp.Sinus kata nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do plaszczyzny podstawy wynosi sin α = (2/3)*√2,2 czyli sin α ≈ 0,9888, natomiast krawędź podstawy wynosi a = 2 cm dla objetości ostrosłupa V = 2/3√11