Question

Rozwiąż rownanie

a) x^3-4x^2+3x=0

b) x^3+3x^2+2=0

c) x^4=4x^3+5x^2

d) 6x^3+9x^2=3x^4

e) 2x^5=2x^4+12x^3

f) 10x^4+x^3=2x^2

g) 9x^6+6x^5+x^4=0

h) x^5+4x^4=12x^3

i) x^3+4x= -5x^2

j) -1/2x^4+x^3=1/2x^2

k) 18x^5=x^7+3x^6

l) 16x^6+8x^4+x^2=0

Answer 1

rozwiązując równania wielomianowe musisz miec wszystkie czynniki uporządkowane, zaczynajac od tych z najwyższą potęgą. następnie musisz rozłożyc je na czynniki. jest  na to kilka sposobów - wyciaganie przed nawias, wzory skroconego mnozenia, grupowanie lub w ostatecznosci metoda prób.

 

a) x^3-4x^2+3x=0

tu wyciągamy x przed nawias:

x(x^2 -4x + 3) = 0

teraz liczymy deltę z nawiasu

delta = 16 - 12 = 4 

x = 4-2/2 = 1 lub x=4+2/2 = 3 lub x= 0 (trzeci x odczytujemy z równania, jezeli mamy samodzielny x przed nawiasem zawsze x=0)

 

b) x^3+3x^2+2=0

tu musimy jeden czynnik rozbic na dwa, wtedy ładnie nam się uda roziwazac równanie metodą grupowania (rozbijamy 3x^2)

x^3 + x^2 + 2x^2 + 2= 0

x^2(x+1) + 2(x^2 + 1) = 0

x=-1 (z pierwszego nawiasu)

jako, że x^2 zawsze daje nam liczbę dodatnią to nie moze sie zerowac, gdy dodamy jeden tym bardziej a więc piszemy: dla kazdego x należącego do R x^2 + 1 > 0

c) x^4=4x^3+5x^2

musimy wszystkie czynniki miec po lewej stronie, po prawej jedynie 0 zostaje, a więc [pamietaj o zmianie znaku przy przenoszeniu]:

x^4 - 4x^3 - 5x^2 = 0

wyciągamy x^2 przed nawias

x^2(x^2 - 4x - 5) = 0

i liczymy deltę w nawiasie: delta = 16 + 20 = 36

x= 4-6/2= -1 lub x=4+6/2= 5

nie zapomnijmy zapisac, że dla kazdego x należącego do R x^2 > 0

d) 6x^3+9x^2=3x^4

najpier przenosimy wszystko na jedną stroną i od razu porządkujemy

-3x^+6x^3+9x=0

wyciągamy 3x ^2 przed nawias

3x^2(x^2+2x+3)=0

liczymy deltę z nawiasu: delta =4-12 < 0 

tak więc równanie nie ma rozwiązań, x nalezy do zbioru pustego

e) 2x^5=2x^4+12x^3

tu możemy zaszelec i policzyc metodą prób :DD

ale najpierw przenosimy wszystko na jedną stronę równania

2x^5-2x^4-12x^3=0

W(1) = 2 - 2 - 12  0

W(2) = 64 - 32 - 96   0

W(-2) = -64 - 32 + 96 = 0

teraz dzielimy przez dwumian x+2, mozna pisemnie lub Hornerem, ja to zrobię pisemnie bo ciezko tu narysowac czytelna tabelkę

 

(2x^5 - 2x^4 - 12x^3) : (x+2) = 2x^4 - 6x^3

-2x^5-4x^4

______________

           -6x^4 - 12x^3

             6x^4+ 12x^3

         ___________________

              = =

wynik dzielenia musimy dalej rozłozyc

2x^4 - 6x^3 = 0

mozemy to zrobic wyciagajac najpierw 2x^3 przed nawias (x-3)

2x^3(x-3) = 0

ale tego nie mozna tak zostawic, a wiec

(2x^2+2x)*(x-3) = 0

delta = 4-8 <0, a więc nie ma miejsc zerowych

 

a wiec ostateczny wynik to x=3 lub x= -2

 

 

pokazałem tobie rozne mozliwosci rozwiazywania rownan wielomianowych, takze pozostale przyklady powinny nie sprawiac tobie trudnosci

to sa naprawde proste rzeczy, ktore sa co roku na maturze takze wypadaloby sie tego nauczyc!

f) 10x^4+x^3=2x^2

g) 9x^6+6x^5+x^4=0

h) x^5+4x^4=12x^3

i) x^3+4x= -5x^2

j) -1/2x^4+x^3=1/2x^2

k) 18x^5=x^7+3x^6

l) 16x^6+8x^4+x^2=0