Question

1. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=2(x+1)^2-3 w przedziale <-2;2>

2. Dla jakich wartości współczynnika m funkcja y=1/2x^2-3x+m ma dwa miejsca zerowe?

Answer 1

1.

f(x)=2(x^2+2x+1)-3=2x^2+4x-1

df(x)/dx=0

4x+4=0

x+1=0

x=-1

 

Ponieważ funkcja wejściowa jest kwadratowa, a parabola będąca jej wykresem ma ramiona skierowane w górę (bo współczynnik przy x^2 jest dodatni) to oznacza, że dla x=-1 funkcja przyjmuje wartość minimalną.

Wartość max.

dla x=-2 y=-1

dla x=2 y=15 - wartość maksymalna

 

2.

delta>0 - 2 różne pierwiastki rzeczywiste

(-3)^2-4*1/2*m>0

9-2m>0

-2m>-9

2m<9

m<4,5 - taki musi być parametr m by funkcja miała 2 rzeczywiste miejsca zerowe

delta<0 -> m>4,5 - taki musi być parametr m by funkcja miała 2 urojone miejsca zerowe

Answer 2

1

f(x)=2(x+1)^2-3

f(x)=2(x²+2x+1)-3

f(x)=2x²+4x-1

f(-2)=2*(-2)²+4*(-2)+1=8-8-1=-1

f(2)=2*(2)²+4*(2)+1=8+8-1=15

współ. wierzchołka

Δ=16-4*2*(-1)=24

p=-b/2a=-4/(2*2)=-1

q=-Δ/4a=-24/(4*2)=-3

najmniejsza wartość y min = -1 dla x=-3

największa wartość y min = 15 dla x=2

2

 y=1/2x^2-3x+m

Δ=9-4*1/2*m=9-2m

dwa miejsca zerowe gdy Δ>0

9-2m>0

-2m>-9

m<9/2