Question

Zbadaj liczbe rozwiazan rowniania:

1/2 |x2- 4| - 1/2x2+ 2x = m

w zależności od wartości parametru m

Answer 1

1. Ustalam dziedzinę równania:

D: x∈R

2.

Przyjmuję że wartość wyrażenia pod wartością bezwzględną jest większa od zera, wówczas(jeszcze mnoże równanie wyjściowe obustronnie przez 2):

D: x²-4≥0 ⇔ (x-2)(x+2)≥0 ⇔ x∈(-∞,-2>U<2,+∞)

 

x²-4-x²+4x=2m

4x-4=2m

m=2x-2

m∈R

 

Gdy wartość wyrażenia pod wartością bezwzględną jest mniejsza od 0:

D: x∈(-2,2)

 

-x²+4-x²+4x=2m

-2x²+4x+4-2m=0

Δ=16+8(4-2m)=8(2+4-2m)

Δ=48-16m

Analiza matematyczna:

I.Gdy Δ<0 

48-16m<0

16m>48

m>3

-----Równanie nie ma rozwiązania dla m∈(3,+∞)

II. Gdy Δ=0

m=3

-----Równanie ma jedno rozwiązanie dla m=3

III gdy Δ>0

m<3

Rówanie ma dwa rozwiązania dla m∈(-∞,3)