Question

Dzień dobry, ktoś jest w stanie pomóc?

Rozwiąż równanie:
a)4/x = 3/(2+x) 4:x=3:(2+x)
b) (2x2+ 1)/x2= 3 (2x2+1):x2 =3
c)x= (5x+3)/2x x=(5x+3):2x

Answer 1

Szczegółowe wyjaśnienie:

Mamy do rozwiązania równania wymierne. Zawsze zaczynamy od wyznaczenia dziedziny danego równania - mianownik nie może być równy 0. Wyznaczamy miejsca zerowe mianownika i wykluczamy je ze zbioru liczb rzeczywistych - to będzie nasza dziedzina.

Dalej staramy się doprowadzić albo do postaci "ułamek = 0" albo "ułamek = ułamek". Jeśli w równaniu jest więcej niż dwa ułamki i nie da się od razu sprowadzić do postaci "ułamek = ułamek" należy część ułamków lub wszystkie sprowadzić do wspólnego mianownika.

W tym zadaniu w każdym przykładzie po jednej stronie równania mamy ułamek z wyrażeniem kwadratowym w mianowniku, po drugiej stronie dwa ułamki z wyrażeniami stopnia pierwszego w mianownikach. Bardzo często zadania te ułożone są w taki sposób, że przemnożenie dwóch mianowników stopnia pierwszego daje ten trzeci mianownik, stopnia drugiego. Można to zauważyć już na etapie wyznaczania dziedziny - miejsca zerowe z dwóch mianowników z wyrażeniami stopnia pierwszego wyjdą takie same, jak miejsca zerowe mianownika z wyrażeniem stopnia drugiego.

a) \frac{x}{x+3}+\frac{1}{x+2}=\frac{x+6}{x^2+5x+6}

x+3

x

+

x+2

1

=

x

2

+5x+6

x+6

Dziedzina:

x+3≠0 → x≠-3

x+2≠0 → x≠-2

x²+5x+6≠0

Δ=5²-4·1·6=25-24=1 x₁=(-5-1):2=-6:2=-3, x₂=(-5+1):2=-4:2=-2 → x≠-3 i x≠-2

D=R\{-3,-2}

Sprowadzamy lewą stronę równania do wspólnego mianownika, czyli domnażamy mianowniki "na krzyż".

\frac{x(x+2)}{(x+3)(x+2)}+\frac{1(x+3)}{(x+2)(x+3)}=\frac{x+6}{x^2+5x+6}

(x+3)(x+2)

x(x+2)

+

(x+2)(x+3)

1(x+3)

=

x

2

+5x+6

x+6

\frac{x^2+2x}{x^2+3x+2x+6}+\frac{x+3}{x^2+3x+2x+6}=\frac{x+6}{x^2+5x+6}

x

2

+3x+2x+6

x

2

+2x

+

x

2

+3x+2x+6

x+3

=

x

2

+5x+6

x+6

\frac{x^2+2x}{x^2+5x+6}+\frac{x+3}{x^2+5x+6}=\frac{x+6}{x^2+5x+6}

x

2

+5x+6

x

2

+2x

+

x

2

+5x+6

x+3

=

x

2

+5x+6

x+6

\frac{x^2+2x+x+3}{x^2+5x+6}=\frac{x+6}{x^2+5x+6}

x

2

+5x+6

x

2

+2x+x+3

=

x

2

+5x+6

x+6

Jeśli dwa równe ułamki mają te same mianowniki, to muszą mieć również te same liczniki:

x²+2x+x+3=x+6

x²+2x+x-x+3-6=0

x²+2x-3=0

Δ₂=2²-4·1·(-3)=4+12=16, x=(-2-4):2=-6:2=-3 lub x=(-2+4):2=2:2=1

Liczba -3 nie należy do dziedziny równania.

Liczba 1 należy do dziedziny równania, zatem liczba 1 jest rozwiązaniem.

b) \frac{2x}{x-1}-\frac{x}{x+2}=\frac{2x-2}{x^2+x-2}

x−1

2x

−

x+2

x

=

x

2

+x−2

2x−2

Dziedzina:

x-1≠0 → x≠1

x+2≠0 → x≠-2

x²+x-2≠0

Δ=1²-4·1·(-2)=1+8=9 x₁=(-1-3):2=-4:2=-2, x₂=(-1+3):2=2:2=1 → x≠-2 i x≠1

D=R\{-2,1}

\frac{2x(x+2)}{(x-1)(x+2)}-\frac{x(x-1)}{(x+2)(x-1)}=\frac{2x-2}{x^2+x-2}

(x−1)(x+2)

2x(x+2)

−

(x+2)(x−1)

x(x−1)

=

x

2

+x−2

2x−2

\frac{2x^2+4x}{x^2+2x-x-2}-\frac{x^2-x}{x^2+2x-x-2}=\frac{2x-2}{x^2+x-2}

x

2

+2x−x−2

2x

2

+4x

−

x

2

+2x−x−2

x

2

−x

=

x

2

+x−2

2x−2

\frac{2x^2+4x}{x^2+x-2}-\frac{x^2-x}{x^2+x-2}=\frac{2x-2}{x^2+x-2}

x

2

+x−2

2x

2

+4x

−

x

2

+x−2

x

2

−x

=

x

2

+x−2

2x−2

\frac{2x^2+4x-x^2+x}{x^2+x-2}=\frac{2x-2}{x^2+x-2}

x

2

+x−2

2x

2

+4x−x

2

+x

=

x

2

+x−2

2x−2

2x²+4x-x²+x=2x-2

2x²+4x-x²+x-2x+2=0

x²+3x+2=0

Δ₂=3²-4·1·2=9-8=1, x=(-3-1):2=-4:2=-2 lub x=(-3+1):2=-2:2=-1

Liczba -2 nie należy do dziedziny równania.

Liczba -1 należy do dziedziny równania, zatem liczba -1 jest rozwiązaniem.

c) \frac{x^2+8x-2}{x^2+2x-8}+\frac{x}{x+4}=\frac{x+1}{x-2}

x

2

+2x−8

x

2

+8x−2

+

x+4

x

=

x−2

x+1

Dziedzina:

x+4≠0 → x≠-4

x-2≠0 → x≠2

x^2+2x-8≠0

Δ=2²-4·1·(-8)=4+32=36 x₁=(-2-6):2=-8:2=-4, x₂=(-2+6):2=4:2=2 → x≠-4 i x≠2

D=R\{-4,2}

\frac{x^2+8x-2}{x^2+2x-8}=\frac{x+1}{x-2}-\frac{x}{x+4}

x

2

+2x−8

x

2

+8x−2

=

x−2

x+1

−

x+4

x

\frac{x^2+8x-2}{x^2+2x-8}=\frac{(x+1)(x+4)}{(x-2)(x+4)}-\frac{x(x-2)}{(x+4)(x-2)}

x

2

+2x−8

x

2

+8x−2

=

(x−2)(x+4)

(x+1)(x+4)

−

(x+4)(x−2)

x(x−2)

\frac{x^2+8x-2}{x^2+2x-8}=\frac{x^2+4x+x+4}{x^2+4x-2x-8}-\frac{x^2-2x}{x^2+4x-2x-8}

x

2

+2x−8

x

2

+8x−2

=

x

2

+4x−2x−8

x

2

+4x+x+4

−

x

2

+4x−2x−8

x

2

−2x

\frac{x^2+8x-2}{x^2+2x-8}=\frac{x^2+5x+4}{x^2+2x-8}-\frac{x^2-2x}{x^2+2x-8}

x

2

+2x−8

x

2

+8x−2

=

x

2

+2x−8

x

2

+5x+4

−

x

2

+2x−8

x

2

−2x

\frac{x^2+8x-2}{x^2+2x-8}=\frac{x^2+5x+4-x^2+2x}{x^2+2x-8}

x

2

+2x−8

x

2

+8x−2

=

x

2

+2x−8

x

2

+5x+4−x

2

+2x

x²+8x-2=x²+5x+4-x²+2x

x²+8x-2=7x+4

x²+8x-2-7x-4=0

x²+x-6=0

Δ₂=1²-4·1·(-6)=1+24=25, x=(-1-5):2=-6:2=-3 lub x=(-1+5):2=4:2=2

Liczba 2 nie należy do dziedziny równania.

Liczba -3 należy do dziedziny równania, zatem liczba -3 jest rozwiązaniem.

d) \frac{x+1}{x-3}+\frac{x-2}{x+1}=\frac{x^2+x+12}{x^2-2x-3}

x−3

x+1

+

x+1

x−2

=

x

2

−2x−3

x

2

+x+12

Dziedzina:

x-3≠0 → x≠3

x+1≠0 → x≠-1

x²-2x-3≠0

Δ=(-2)²-4·1·(-3)=4+12=16 x₁=(2-4):2=-2:2=-1, x₂=(2+4):2=6:2=3 → x≠-1 i x≠3

D=R\{-1,3}

\frac{(x+1)(x+1)}{(x-3)(x+1)}+\frac{(x-2)(x-3)}{(x+1)(x-3)}=\frac{x^2+x+12}{x^2-2x-3}

(x−3)(x+1)

(x+1)(x+1)

+

(x+1)(x−3)

(x−2)(x−3)

=

x

2

−2x−3

x

2

+x+12

\frac{x^2+x+x+1}{x^2+x-3x-3}+\frac{x^2-3x-2x+6}{x^2+x-3x-3}=\frac{x^2+x+12}{x^2-2x-3}

x

2

+x−3x−3

x

2

+x+x+1

+

x

2

+x−3x−3

x

2

−3x−2x+6

=

x

2

−2x−3

x

2

+x+12

\frac{x^2+2x+1}{x^2-2x-3}+\frac{x^2-5x+6}{x^2-2x-3}=\frac{x^2+x+12}{x^2-2x-3}

x

2

−2x−3

x

2

+2x+1

+

x

2

−2x−3

x

2

−5x+6

=

x

2

−2x−3

x

2

+x+12

\frac{x^2+2x+1+x^2-5x+6}{x^2-2x-3}=\frac{x^2+x+12}{x^2-2x-3}

x

2

−2x−3

x

2

+2x+1+x

2

−5x+6

=

x

2

−2x−3

x

2

+x+12

x²+2x+1+x²-5x+6=x²+x+12

x²+2x+1+x²-5x+6-x²-x-12=0

x²-4x-5=0

Δ₂=(-4)²-4·1·(-5)=16+20=36, x=(4-6):2=-2:2=-1 lub x=(4+6):2=10:2=5

Liczba -1 nie należy do dziedziny równania.

Liczba 5 należy do dziedziny równania, zatem liczba 5 jest rozwiązaniem.