Rozwiąż nierówność : a). 1/2|2x-5| +1>3x b). |x + 3| ≥ 1/5x +3 c). 2|3-x| + 3x-7.... Question from @Selena11189

December 2018 1 14 Report

Rozwiąż nierówność :
a). 1/2|2x-5| +1>3x
b). |x + 3| ≥ 1/5x +3
c). 2|3-x| + 3x-7<1
d). 5-|2x-7| ≥ 1/2x -3

Rozwiąż równanie :
a). |x-3| + |x+2|=7
b). |x-1| - |x+5|=6

Paawełek A)
$\frac{1}{2}|2x-5|+1>3x \qquad /\cdot 2 \\ |2x-5|+2>6x \\ |2x-5|-6x>-2 \\ \hbox{Gdy} \ \ x\ge \frac{5}{2} \ \hbox{otrzymam:} \\ 2x-5-6x>-2 \\ -4x>3 \qquad /:(-4) \\ x<-\frac{3}{4} \\ \hbox{Zbior nie nalezy do wczesniej przyjetego zalozenia, wiec tu mam zbior} \\ \hbox{pusty}.$
$\hbox{Gdy} \ x<\frac{5}{2} \ \hbox{mam:} \\ 5-2x-6x>-2 \\ -8x>-7 \qquad /:(-8) \\ x <\frac{7}{8} \\ \hbox{Zbior w calosci nalezy do narzuconego zalozenia wiec mamy rozw.:} \\ \boxed{x\in \bigg(-\infty, \frac{7}{8}\bigg)}$
b)
$|x+3| \ge \frac{1}{5}x+3 \qquad /\cdot 5 \\ 5|x+3| \ge x+15 \\ 5|x+3|-x\ge 15 \\ \hbox{Gdy} \ x \ge -3 \ \hbox{mamy:} \\ 5(x+3)-x\ge 15 \\ 5x+15-x\ge 15 \\ 4x \ge 0 \qquad /:4 \\ x\ge 0 \\ \hbox{Zbior nalezy w calosci do narzuconego zalozenia wiec mamy} \\ x \in \langle 0,+\infty)$
$\hbox{Gdy} \ x<-3 \ \hbox{mamy:} \\ -5(x+3)-x \ge 15 \\ -6x-15 \ge 15 \\ -6x \ge 30 \qquad /:(-6) \\ x \le -5 \\ \hbox{Nalezy do narzuconego zalozenia wiec mamy} \ x \in (-\infty, -5\rangle \\ \hbox{Sumujac mam rozwiazanie:} \\ \boxed{x\in (-\infty, 5\rangle \cup \langle 0,+\infty)}$
c)
$2|3-x|+3x-7<1 \\ \hbox{Gdy} \ x\ge 3 \ \hbox{mam:}\\ 2(x-3)+3x-7<1 \\ 2x-6+3x-7<1 \\ 5x<14 \qquad /:5 \\ x<\frac{14}{5} \\ \hbox{Zbior nie nalezy do narzuconego na iks zalozenia. Jest wiec pusty.}$
$\hbox{gdy} \ x<3 \ \hbox{mam:} \\ 2(3-x)+3x-7<1 \\ 6-2x+3x-7<1 \\ x<2 \\ \hbox{Caly pokrywa sie z narzuconym zalozeniem na x. Wiec ostatecznie:} \\ \boxed{x \in (-\infty, 2)}$
d)
$5-|2x-7|\ge \frac{1}{2}x-3 \qquad /\cdot 2 \\ 10-2|2x-7|\ge x-6 \\ \hbox{Gdy} \ x \ge \frac{7}{2} \ \hbox{mamy:} \\ 10-2(2x-7) \ge x-6 \\ 10-4x+14 \ge x-6 \\ -5x \ge -30 \qquad /:(-5) \\ x \le 6 \\ \hbox{Uwzgledniajac narzucone zalozenie:} \\ x \in \langle \frac{7}{2},6\rangle$
$\hbox{Gdy} \ x<\frac{7}{2} \ \hbox{mam:} \\ 10+2(2x-7) \ge x-6 \\ 10+4x-14 \ge x-6 \\ 3x \ge -2 \qquad /:3 \\ x \ge -\frac{2}{3} \\ \hbox{Uwzgledniajac narzucone zalozenie na x:} \\ x \in \langle -\frac{2}{3},\frac{7}{2}) \\ \hbox{Sumujac zbiory:} \\ x\in \langle -\frac{2}{3},\frac{7}{2})\cup\langle \frac{7}{2},6\rangle \ \ \hbox{A to mozemy zapisac jako:} \\ \boxed{x\in \bigg<-\frac{2}{3},6\bigg>}$

No i najprostsze - równania :)
a)
|x-3|+|x+2|=7
Wyrażenia w modułach zerują się w punktach 3 i -2. Tworzymy 3 przedziały:
1 przedział : x > 3 :
x-3+x+2=7
2x=8 /:2
x=4
Należy do przedziału, jest rozwiązaniem.
2 przedział: -2<x<3 :
3-x+x+2=7
5=7
równanie sprzeczne
3 przedział: x<-2
:3-x-x-2=7
-2x=6 /:(-2)
x=-3
należy do przedziału. Więc dwa rozwiązania: x=-3 oraz x=4

W b) Tworzymy podobnie przedziały:
1 przedział: x >1:
x-1-x-5=6
-6=6
Równanie sprzeczne.
2 przedział: -5<x<1 :
1-x-x-5=6
-2x=10 /:(-2)
x=-5
Należy do przedziału więc jest rozwiązaniem
3 przedział: x<-5 :
1-x+x+5=6
6=6
Równanie tożsamościowe - cały przedział je spełnia.
Zatem rozwiązania równania jest $\boxed{x \in (-\infty, -5\rangle}$