Question

1.Liczby 3x - 4; 8; 2 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. X= ?
2.Dany jest ciąg (aˇn) o wyrazie ogólnym aˇn= -n^2 + 5n. Liczba wyrazów dodatnich tego ciągu jest równa ... ?
3. Dany jest ciąg arytmetyczny o trzecim wyrazie 6 i piątym wyrazie 4. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy ... ?
4. Pole trójkąta równobocznego jest równe 12√3. Wysokość trójkąta ma długość ... ?
5. Stosunek pola koła opisanego na kwadracie do pola koła wpisanego w kwadrat jest równy ... ?
6.Liczby (2x; x+3; 1/2x - 1) tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz liczbę X.
7. Dany jest ciąg arytmetyczny (aˇn) w którym aˇ5 = -9 i aˇ11= 3. Wyznacz sumę dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu.
8. Oblicz pole trapezu równoramiennego o kącie ostrym 30°, ramieniu długości 12 i dłuższej podstawie 16.

Answer 1

1
Z własności ciągu geometrycznego:
8^2 = (3x-4)*2
64 = 6x - 8
6x = 64+8
6x = 72  |:6
x = 12

2.
-n^2 + 5n >0
n(-x+5) >0
Miejsca zerowe:
n = 0  lub
-n+5 = 0
n = 5
Wykresem funkcji f(n) =-n^2 + 5n
jest parabola o ramionach skierowanych w dół więc wartości dodatnie przyjmuje międzu miejscami zerowymi, czyli w przedziale (0,5) Ponieważ n ∈N to wyrazy dodatnie to a1 , a2 , a3 i a4
Odp.: 4

3.
a3 = 6
a5 = 4
a1 = ?
r - różnica ciągu
a3 = a1+ 2r
a5 = a1 + 4r

6 = a1 + 2r  ⇒ a1 = 6 - 2r
4 = a1 + 4r

4 = 6 - 2r + 4r
4 = 2r + 6
2r = 4-6
2r = -2   |:2
r = -1
a1 = 6 - 2r =6 - 2*(-1) = 6+2 = 8

Odp a1 = 8

4
P = 12√3
h = ?
a - długość boku trójkąta
h = a√3/2
P = a²√3/4
12√3 = a²√3/4    |:√3
12 = a²/4  |*4
a² =48
a = √48 = √(16*3) = 4√3
h = 4√3*√3/2 = 4*3/2 = 6

Odp.: h = 6

5.

r -promień koła wpisanego w kwadrat o boku a
P1 - pole koła wpisanego
P1 = πr²
R - promień koła opisanego na kwadracie o boku a
P2 = πR²
P2/P1 = ?

P2/P1 = πR²/(πr²) = (R/r)²

r = a/2
d - przekatka kwadratu o boku a
d = a√2
R =1/2d = 1/2*a√2 = a*√2/2

P2/P1 = (R/r)² = [(a*√2/2) / (a/2)]² = [a√2/2 * 2/a]² = (√2)² = 2

Odp.: 2

6
(x+3)^2 = 2x*(1/2x-1)
x^2 + 6x + 9 = x^2 - 2x
6x + 9 = -2x
8x = -9
x = -9/8 = - 1 1/8

Odp.: x = -1 1/8

7
a5 = -9
a11 = 3

a5 = a1 + 4r
a11 = a1 + 10r

-9 = a1 + 4r
3 = a1 + 10r
----------------------------------odejmuję stronami
-9-3 = 4r-10r
-12 = -6r  |:(-6)
r = 2
-9  = a1 + 4r
-9 = a1 + 4*2
a1 = -9-8 = -17

S20 = (2a1 +19*r)/2*20 = (2*(-17) + 19*2)*10 = (-34+38)*10 = 4*10 = 40

Odp.: S20 = 40

8

Oznaczenia jak na rysunku.
Trójkąt AED to trójkąt o kątach 30 st, 60 st i 90 stopni. Z własnosci tego trójkąta:
h = 1/2a = 1/2*12 = 6
|AD| = h√3 = 6√3
b = 16 - 2*|AD| = 16-2*6√3 = 16-12√3

P = 1/2(16+(16-12√3)*6 = 3*(32 - 12√3) = 96-36√3

Odp.: P = 96-36√3