Question

Dwa boki trójkąta wpisanego w okrąg o promieniu R są odpowiednio równe 1/2R i RV3. Oblicz długość trzeciego boku.

Answer 1

Boki moga byc polozone jak na rysunku w zalaczniku.

Wykorzystam Tw. sinusow i Tw. cosinusow

x/sinα=2R

x=2R*sinα

sinα=x/2R

cosα=±√1-sin²α=±√1-x²/4R²=±√(4R²-x²)/2R

 

x²=a²+b²-2abcosα

Dalszy ciag rozw. w zalaczniku.

Answer 2

x - trzeci bok trójkąta

 

Z tw. sinusów:

2R = x/sinα  => sinα = x/2R

cosα = √(1-sin²α) = √(1- x²/4R²) =√[(4R²-x²)]/2R

 

Z tw. cosinusów:

AC² = AB²+BC²-2AB * BC* cosα

x² = R²/4 + 3R²+R²√3*√(4r²-x²)/4  I*4

4x² = 13R²+2R√3*√(4r²-x²)

4x²-13R² = 2R√3*√4R²-x²)

4x²-13R² = 2R√3*√4R²   I()²

16x^4 -104R²x²+169R² = 12R²(4R²-x²) = 48R^4 -12x²R²

16x^4 - 92R²x² + 121R^4 = 0

     t = x²

4t²-23R²t + 121/4 R^4 = 0

Δ = 529R^4 - 484R^4 = 45R^4 

√Δ = 3√5R² 

t1 = (23-3√5)R²/8

t2 = (23+3√5)R²/8

Zatem:

x = √t1 = R√[(23-3√5)/8]

lub

x = √t2 = R√[(23+3√5)/8]