Oblicz obwód trójkąta prostokątnego ,którego przeciwprostokątna ma długość 10, a tangens jednego z k.... Question from @nodramaelama

March 2022 2 4 Report

Oblicz obwód trójkąta prostokątnego ,którego przeciwprostokątna ma długość 10, a tangens jednego z kątów ostrych wynosi 1/2.

adrianpapis

Odpowiedź:

$Obw =6\sqrt5+10$

Szczegółowe wyjaśnienie:

Tangens kąta to stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi do długości przyprostokątnej przyległej kątowi. Skoro tangens wynosi $\frac{1}{2}$ , to możemy przeciwległą przyprostokątną oznaczyć jako a, zaś drugą przyprostokątną jako 2a.

Policzmy a z tw. Pitagorasa.

$a^2+(2a)^2=10^2\\a^2+4a^2=100\\5a^2=100\ |:5\\a^2=20\\a=\sqrt{20}=\sqrt{4*5}=2\sqrt5\\2a=2*2\sqrt5=4\sqrt5$

Zatem obwód to:

$Obw = 2\sqrt5+4\sqrt5+10=6\sqrt5+10$

0 votes Thanks 0

catta1eya

z - przeciwprostokatna

x, y - przyprostokatne

$tg\alpha=\frac12\\tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\\tg\alpha cos\alpha=sin\alpha\\\frac12cos\alpha=sin\alpha\\\\sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\(\frac12cos\alpha)^2+cos^2\alpha=1\\\frac14cos^2\alpha+cos^2\alpha=1\\\frac54cos^2\alpha=1 /*\frac45\\cos^2\alpha=\frac45\\cos\alpha=\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}5\\sin^2\alpha=1-\frac45\\sin^2\alpha=\frac15\\sin\alpha=\frac{\sqrt5}5$

$sin\alpha=\frac{x}z\\\frac{\sqrt5}5=\frac{x}{10}\\\\x=\frac{10\sqrt5}5=2\sqrt5\\\\cos\alpha=\frac{y}z\\\frac{2\sqrt5}5=\frac{y}{10}\\y=\frac{20\sqrt5}5=4\sqrt5\\\\Ob=x+y+z\\Ob=2\sqrt5+4\sqrt5+10=6\sqrt5+10$

1 votes Thanks 1

About Us

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social