Question

Rozwiąż równanie: 2sin2x+cosx/sinx=4cosx, jeśli x należy <0 do 2 pi>. Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że co najmniej jedno z wylosowanych rozwiązań jest wielokrotnością liczby pi/2.

Answer 1

2sin2x+cosx/sinx=4cosx , x∈(0,2Pi)
(dla x=0 i x=2Pi mianownik się zeruje, a tak być nie może)
4sinxcosx+cosx/sinx=4cosx
4sin²xcosx+cosx-4sinxcosx=0
cosx(4sin²x-4sinx+1)=0
cosx=0 lub 4sin²x-4sinx+1=0 (i x∈(0,2Pi))
x=Pi/2 lub x=3Pi/2 lub (2sinx-1)²=0
x=Pi/2 lub x=3Pi/2 lub sinx=1/2
x=Pi/2 lub x=3Pi/2 lub x=Pi/6

Losujemy dwie liczby ze zbioru {Pi/2, 3Pi/2, Pi/6}. Pierwsza i druga są wielokrotnościami Pi/2.
Mamy trzy możliwości: albo wylosujemy {Pi/2, 3Pi/2}, albo {3Pi/2, Pi/6} albo {Pi/2, Pi/6}. W każdym przypadku co najmniej jedna z liczb jest wielokrotnością Pi/2, więc szukane prawdopodobieństwo wynosi 1.