Question

Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest nachylony do osi OX pod kątem alfa i przechodzi przez punkt A, jeśli:
a) tg alfa = 3/4 A(2,3)
b) cos alfa = 8/17 A(16,12)
c) ctg alfa = -2/5 A(6,5)
d) sin alfa = 12/13 A(-1,-4)
e) cos alfa = -60/61 A(12,-6)
f) sin alfa = 4/5 A(-2, 2 i 1/2)
Bardzo proszę o zrobieniu chociaż kilku przykładów... nie potrafię sobie z tym poradzić :(

Answer 1

Z własności funkcji liniowej o postaci y=ax + b wiadomo, że a = tg alfa
Stąd:

a) tg alfa = 3/4 A(2,3)
dlatego a = 3/4
czyli: y= 3/4x +b
Podstawiam punkt do uzyskanego wzoru:
3 = 3/4 *2 +b
3 = 3/2 + b
3/2 = b

y = 3/4 x + 3/2

b) cos alfa = 8/17 A(16,12)
Należy najpierw znaleźć tg alfa. Skoro znamy cos najłatwiej wyliczyć najpierw sinus z jedynki trygonometrycznej:

sin^2 alfa  + (8/17)^2 = 1
sin^2 alfa + 64/289 = 1
sin^2 alfa = 225/289
sin alfa = 15/17 lub sin alfa = -15/17

tg alfa = sin alfa / cos alfa = 15/17 : 8/17 = 15/17 * 17/8 = 15/8 lub tg alfa= -15/8

czyli a = 15/8

y = 15/8 x + b
Podstawiam punkt:
12 = 15/8*16 +b
12 = 30 +b
-18 = b
 
y=15/8x-18


lub:
czyli a = -15/8

y = -15/8 x + b
Podstawiam punkt:
12 = -15/8*16 +b
12 = -30 +b
42 = b
 
y=15/8x+42

c) ctg alfa = -2/5 A(6,5)
skoro tg jest odwrotnością ctg to:
tg alfa = - 5/2

a = -5/2
y= -5/2 x + b
5 = -5/2 * 6 +b
5 = -15 + b
20 = b

y = -5/2x +20

d) sin alfa = 12/13 A(-1,-4)
Najpierw szukamy cos alfa:

(12/13)^2 + cos alfa = 1
144/169 + cos alfa = 1
cos alfa = 25/169
cos alfa = 5/13 (lub cos alfa = -5/13)

tg alfa = 12/13 * 13/5 = 12/5   (lub tg alfa = - 12/5)

y = 12/5 x + b
-4 = 12/5 * (-1) +b
-4 = - 2 2/5 + b
- 1 3/5 = b
y = 12/5x - 1 3/5
 

lub:
y = -12/5 x + b
-4 = -12/5 * (-1) +b
-4 =  2 2/5 + b
- 6 2/5 = b
y = 12/5x - 6 2/5

e) cos alfa = -60/61 A(12,-6)

(-60/61)^2 + sin^2 alfa = 1
3600/3721 + sin^2 alfa = 1
sin^2 alfa = 121/3600
sin alfa = 11/61 (lub sin alfa = -11/61)

tg alfa = 11/61 * 61/60 = 11/60 (lub tg alfa = -11/60)

a = 11/60
y = 11/60 x + b
-6 = 11/60*12 +b
-5 = 11/5 + b
- 7 1/5 = b
y = 11/60 x - 7 1/5

lub:
 a = - 11/60
y =  - 11/60 x + b
-6 = - 11/60*12 +b
-5 = - 11/5 + b
- 2 4/5 = b
y = 11/60 x - 2 4/5

f) sin alfa = 4/5 A(-2, 2 i 1/2)

cos^2 alfa + 16/25 = 1
cos^2 alfa = 9/25
cos alfa = 3/5 lub cos alfa = -3/5

tg alfa = 4/3 lub tg alfa = -4/3

a = 4/3
y= 4/3 x + b
2 1/2 = 4/3 *(-2) +b
2 1/2 = -2 2/3 + b
5 1/6 = b
y = 4/3 x + 5 1/6

a = - 4/3
y= - 4/3 x + b
2 1/2 = - 4/3 *(-2) +b
2 1/2 =  2 2/3 + b
-1/6 = b
y = 4/3 x -1/6