Question

Wykaż bez kalkulatora, że:


b) 1/21 + 1/22 + 1/23 + ... + 1/30 > 1/3

c) 1/11 + 1/12 + 1/13 + ... + 1/40 > 1

a) 1/11 + 1/12 + 1/13 + ... + 1/20 > 1/2

Answer 1

A)
Mamy wykazać, że:


Zauważmy, że najmniejszym ułamkiem sumy po lewej stronie nierówności jest jedna dwudziesta. Każdy inny ułamek jest od niej większy. Składników sumy jest 10. Korzystając z tych informacji można zatem zapisać wyrażenie:



Gdyby każdy z ułamków był równy jednej dwudziestej, to suma wyniosłaby jedna druga. Ponieważ jednak 9 z nich jest większe od , to ich suma jest większa od sumy , czyli od .

b)
Mamy do potwierdzenia nierówność.


Zastosujemy metodę podobną jak poprzednio. Najmniejszym co do wartości  ułamkiem jest , suma ma 10 składników, zatem gdyby każdy ułamek był równy najmniejszemu składnikowi, suma wyniosłaby . Ponieważ jednak 9 z 10 składników jest większych od , suma jest większa od .



c)
Do wykazania pozostaje:



Wykorzystajmy zależności udowodnione w punktach a i b). Możemy zauważyć że nasza suma zawiera już w sobie sumy dotyczące zależności które wykazaliśmy w punktach a i b.



Wiemy że:


Załóżmy najbardziej pesymistyczny przypadek i podstawmy za w/w sumę wartość (wiemy że suma jest większa, natomiast na potrzeby dowodu wystarczy nam gdyby była równa jednej drugiej).

Podobnie dla sumy z punku b)



- załóżmy że jest ona równa .

Wówczas nasza zależność którą chcemy wykazać przybiera postać:



Najmniejszym składnikiem pozostałej sumy jest , stosując zasadę jak w punktach a i b możemy wykazać że suma ta jest większa od :



Sprawdźmy zatem czy nasza zależność jest prawdziwa, w pesymistycznym przypadku gdyby ostatnia część sumy, którą szacowaliśmy powyżej była zaledwie równa (a wiemy że jest większa).







Zatem wykazaliśmy - skoro suma trzech liczb , i jest większa od 1, a każda z podsum jest większa od odpowiednio , i , to cała suma jest większa od 1.