Question

Zad 1
Współczennik kierunkowy prostej l jest równy 7. Prosta k jest prostopadła do prostej l i przecina się z prostą w punkcie O(0;0). Wyznacz równania ogólne prostych k i l.

Zad 2
Oblicz brakujące współczynniki w równaniu ogólnym prostej l, wiedząc, że:
a) prosta l:Ax-2y+C=0 jest równoległa do prostej k:5x+14y-1=0 i przechodzi przez punkt P(7;0)
b) prosta l:x+By+C=0 jest równoległa do prostej k:-3x+4y-5=0 i przechodzi przez punkt P(1;-3)
c) prosta l:3x+By+C=0 jest prostopadła do prostej k:-20x+15y-7=0 i przechodzi przez początek układu współrzędnych
d) peosta l:Ax+y+C=0 jest prostopadła do prostej k:2x+4y-13=0 i przechodzi przez punkt P(1/2;7)

Zad 3

Wyznacz liczbę p, dla której proste k:2x+py+3=0 oraz l:px+y-5=0 są:
a) równoległe
b) prostopadłe

Answer 1

Ad. 1

Jak wiemy, proste przecinają się, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1.

a₁=7   <- współczynnik prostej l

a₂=?    <- współczynnik prostej k

 

a₁*a₂=-1

7*a₂=-1

a₂=-1/7

 

Obie proste przecinają się w punkcie (0.0), czyli wyraz wolny c=0.

 

odp:

prosta l : y=7x

prosta k : y=-1/7x

 

Ad. 2

a)

proste są równoległe, czyli mają takie same wpółczynniki kierunkowe

a₁=5

l :  5x-2y+C=0

P(7,0)

 

l :  5*7-2*0+C=0

c=-35

 

b)

l : x+By+C=0

przekstałcam teraz prosta k:

k: -3x+4y-5=0

k: 4y=3x+5

k: y=3/4x+5/4

teraz prostą l :

l : x+By+C=0

l : By=-x-c

l : y=-1/b*x-1/b*C

 

równoległe, czyli takie samo a

-1/b=3/4

-4=3b

b=-4/3

y=-1/b*x-1/b*C

P(1;-3)

Po podstawieniu do równania i wyliczeniu

c=8/3

l : 3/4x+8/3

 

c)

l: 3x+By+C=0   P(0,0)

k: -20x+15y-7=0

k: 15y=20x+7

k: y=20/15x+7/15

 

l: 3x+By+C=0

l: By=-3x+c

l: y=-3/B*x+c/B

 

prostopadłe, czyli a1*a2=-1

20/15*(-3/B)=-1

po wyliczeniu: B=4

czyli współczynnik a dla tej prostej równy jest: -3/4

l: y=-3/4*x+c/B

przechodzi przez P(0,0)

czyli c=0

 

l: -3/4x

 

d)

l: Ax+y+C=0

k: 2x+4y-13=0

 

l: Ax+y+C=0

l: y=-Ax-C

 

k: 2x+4y-13=0

k: 4y=-2x+13

k: y=-1/2x+13/4

 

prostopadłe, czyli:

-A*(-1/2)=-1

po wyliczeniu:

A=-2

czyli współczynnik wynosi -A, czyli 2

 

l: y=2x-C

P(1/2;7)

7=1-c

-c=6

c=-6

 

l: 2x+6

 

 

3.

 

k:2x+py+3=0

l:px+y-5=0

 

a) równoległe

k:2x+py+3=0

k: py=-2x-3

k: y=-2/p*x-3/p

 

l: px+y-5=0

l: y=-px+5

 

równoległe, czyli takie same a

-p=-2/p

p²=2

p=√2 v p=-√2

 

b)

prostopadłe

czyli a1*a2=-1

-p*-2/p=-1

2=1

sprzeczność

 

nie ma takiego parametru

 

Answer 2

Rozwiązania w załączniku;)