Question

1. Wiedząc, że an jest ciągiem arytmetycznym oraz a1=10, an= -9, Sn=10, wyznacz r i n.
2. Określ, ile wyrazów ciągu jest mniejszych od 0.
an= n2-4n-5
3. Znaleźć ilorzaz ciągu geometrycznego, w którym b1+b2= 1/3 i b1-b2= 1 i 2/3
4. Liczby 2, x-2, x+2 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz x
5. Między liczby 3 i 16/27 wstaw trzy liczby, tak aby otrzymać ciąg geometryczny.

Answer 1

Zad.1:

Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego:

Sn=((a1+an)/2)*n, stąd:

Z treści zadania wynika, że:

10=((10-9)/2)*n, stąd obliczamy n: n=20

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

-9=10+(20-1)*r, stąd obliczamy r: r=-1

------------------------------------------------------------------------

Zad.2:

Rozwiązujemy nierówność: n^2-4n-5<0, przy założeniu, że n jest naturalne dodatnie, stąd:

n^2-4n-5<0 <=> (n-5)(n+1)<0 <=> -1 < n < 5

Ponieważ n jest naturalne dodatnie, stąd: n należy do zbioru: {1,2,3,4}

------------------------------------------------------------------------

Zad.3:

Układamy układ równań z warunków z treści zadania.

Dodajemy go stronami i otrzymujemy równanie:

2b1=6/3 => b1=1

Wstawiamy do równania pierwszego i otrzymujemy:

b2=(1/3)-1 => b2=-2/3

Iloraz q: q=b2/b1=-2/3

------------------------------------------------------------------------

Zad.4:

Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego:

an=(an-1+an+1)/2, czyli:

x-2=(2+x+2)/2 => x=8

 

------------------------------------------------------------------------

Zad.5:

Wszystkich wyrazów ciągu jest 5, stąd n=5,

Korzystamy z własności ciągu geometrycznego:

an=a1*q^(n-1), zatem

16/25=3*q^(5-1)

Wyznaczamy q: q=2/3

Obliczamy kolejno a2, a3, a4:

a2=3*q=2
a3=2*(2/3)=4/3
a4=(4/3)*2/3=8/9