Question

Uzasadnij że promień kręgu wpisanego w ośmiokąt foremny o boku "a" jest równy a(1+√2)/2

Answer 1

Verified answer

Pokażemy, że długość promienia okręgu wpisanego w ośmiokąt foremny o boku długości a wynosi .

Ośmiokąt foremny

Ośmiokąt foremny to wielokąt o ośmiu bokach równej długości. Wszystkie kąty takiej figury mają taką samą miarę równą .

W zadaniu ponadto skorzystamy ze wzoru na długość przekątnej kwadratu o boku długości a:

.

Mamy ośmiokąt foremny ABCDEFGH (rysunek z oznaczeniami w załączniku) o boku długości a. Narysujmy w nim średnicę okręgu od punktu styczności z bokiem AB do punktu styczności z bokiem EF ośmiokąta (w tych punktach średnica jest prostopadła do boków). Ma ona długość 2r.

Dorysujmy kwadrat IJKL tak, że bok IJ kwadratu zawiera bok AB ośmiokąta, bok JK zawiera bok CD ośmiokąta, bok KL zawiera bok EF ośmiokąta oraz bok LI zawiera bok GH. Wtedy bok takiego kwadratu (zgodnie z oznaczeniami) ma długość a+2x. Zachodzi również równość

.

Trójkąty IAH, BJC, DKE, GFL są trójkątami prostokątnymi równoramiennymi o przeciwprostokątnych długości a. Zatem długość ramienia x wyznaczymy z równania

Zatem długość boku kwadratu IJKL jest równa

.

Długość promienia okręgu wpisanego w ośmiokąt ABCDEFGH wyznaczymy z równania

Pokazaliśmy, że długość promienia okręgu wpisanego w ośmiokąt foremny wynosi .

#SPJ1