Question

Dla jakich wartości parametru α odległość punktu P=(1,2) od prostej y=x+sinα jest mniejsza lub równa 1/√2

Answer 1

P=(1,2)    y = x+sinα ≤ 1/√2

 

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P=(xo,yo) od prostej o równaniu Ax+By+C = 0

d = IAxo+Byo+CI/√(A²+B²)

x-y+sinα = 0

A = 1,  B = -1,  C = sinα

 

I1-2+sinαI

-------------   ≤ 1/√2  I*√2

  √(1+1)

 

I1-2+sinαI ≤ 1

I-1+sinαI ≤ 1  

  

          Def. wartości bezwzględnej:

          IxI =  x,  dla x ≥0

                 -x,  dla x < 0

 

-1+sinα ≤ 1      lub     1-sinα ≤ 1

 sinα ≤ 2          lub      -sinα ≤ 0

0 ≤ sinα ≤ 2

Funkcja sinx jest funkcją okresową o okresie 2π; przyjmuje te same wartości co 2π, zatem:

α ∈<2kπ; π+2kπ>

Odp. α ∈<2kπ; π+2kπ> ,   k ∈C

Answer 2

 

Funkcja sinx jest funkcja okresowa o okresie 2π, wiec te same wartosci przyjmuje co 2π, wykres w zalaczniku.