1. Wielomiany W(x) = 6x3 + 4x2 − 5x + 8 i P(x) = −5x + 6x3 −mx2 + 8 są równe dla wartości m równej:
A. −4 B. 5 C. 4 D. −5
2. Ile rozwiązań należących do zbioru liczb rzeczywistych ma równanie x3 − 9x = 0?
A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
3. Liczby −4, x, 2 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego dla wartości x równej:
A. 3 B. −5 C. −1 D. −3
4. Długość średnicy okręgu opisanego równaniem x2 + (y − 3)2 = 16 wynosi:
A. 32 B. 8 C. 16 D. 6
5. Ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu x2 + y2 = 4 z prostą y = −x?
A. 1 B. 0 C. 3 D. 2
6. Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej opisanej równaniem x − 2y + 4 = 0 jest
równy:
A. 1/2
2 B. −1/2
2 C. −2
D. 1
7. Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których wartość poniższego wielomianu dla x = 3
jest równa 7.
W(x) = kx3 + (1 − 2k)x2 − (2 − k2)x + 10
8. Oblicz sumę wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych parzystych.
9. Na lokatę miesięczną oprocentowaną 2,4% w skali roku wpłacono 5000 zł. Oblicz sumę odsetek
po upływie sześciu miesięcy (w obliczeniach nie uwzględniaj podatku od odsetek).
10. Punkty A = (−2, 3) i C = (4, −5) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu. Wyznacz równania
prostych zawierających przekątne tego kwadratu.
11.Liczba x = 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = 6x3 + bx2 + cx + d, którego współczynniki 6, b, c, d
w zapisanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.
a) Wyznacz współczynniki tego wielomianu.
b) Wykaż, że wielomian ten nie ma innych pierwiastków należących do zbioru liczb rzeczywistych.
Prosze o jak najszybsze rozwiązanie tych zadań.
1]
W(x)=6x³+4x²-5x+8
P(x)=6x³-mx²-5x+8
wielomiany są równe dla m=4
odp. c
2]
x³-9x=0
x(x²-9)=0
x(x+3)(x-3)=0
x=0 lub x=-3 lub x=3
3 rozw.
odp. d]
3]
x=½(-4+2) /×2
2x=-2
x=-2:2=-1
odp. c]
4]
r²=16
r=√16=4
srednica=2r=8 odp. b]
5]
x²+(-x)²=4
x²+x²=4
2x²=4
x²=4:2
x²=2
x=√2 lub x=-√2
2 punkty
odp. d]
6]
x-2y+4=0
2y=x+4
y=½x+2
a=½= szukany współczynnik
odp. a]
7]
W(3)=k×(3³)+(1-2k)×3²-3(2-k²)+10=7
27k+9(1-2k)-6+3k²+10=7
27k+9-18k+4+3k²-7=0
3k²+9k+6=0
Δ=b²-4ac=81-72=9
√Δ=3
k₁=[-b-√Δ]/2a=[-9-3]/6=-2
k₂=[-b+Δ]/2a=[-9+3]/6=-1
8]
a₁=10
a₂=12
r=12-10=2
an=98
an=a₁+(n-1)r
98=10+(n-1)2
98-10=2n-2
2n=88+2
n=90:2=45
S₄₅=½(a₁+a₄₅)×45=½(10+98)×45=2430
9]
2,4%:12=0,2%= oprocentowanie m-ne
0,2%=0,002
5000×0,002=10zł
5000+10=5010
5010×0,002=10,02zł
5010+10,02=5020,02
5020,02×0,002=10,04004zł
5020,02+10,04004=5030,06zł
5030,06×0,002=10,06012zł
5030,06+10,06012=5040,1201
5040,1201×0,002=10,08024
5040,1201+10,08024=5050,2003
5050,2003×0,002=10,1004zł
razem odsetki=10+10,02+10,04004+10,06012+10,08024+10,1004=60,3008zł
10]
przekatna AC:
y=ax+b
3=-2a+b
-5=4a+b
b=2a-3
-5=4a+2a-3
6a=-5+3
a=-2;6=-⅓
b=2×(-⅓)-3=-⅔-3=-3⅔
y=-⅓x-3⅔
....................
srodek przekatnej AC:
S=(x;y)
x=(4-2)/2=1
y=(-5+3)/2=-1
równanie przekatnej BD:
a=+3
y=ax+b
y=3x+b
-1=3×1+b
b=-1-3=-4
y=3x-4
...............
11]
6×1³+1²b+1c+d=0
6+b+c+d=0
b+c+d=-6
b=½(6+c)
c=½(b+d)
b+c+d=-6
c=-6-b-d
-6-b-d=½(b+d) /×2
b+d=-12-2b-2d
3b+3d=-12 /;3
b+d=-4
-4+c=-6
c=-6+4=-2
................
b=½(6+c)=½(6-2)=2
..............................
b+d=-4
2+d=-4
d=-4-2=-6
..............
a]
b=2
c=-2
d=-6
b]
W(x)=(6x³+2x²-2x-6):(x-1)=6x²+8x+6
6x³+2x²-2x-6=(x-1)(6x²+8x+6)=0
Δ=b²-4ac=64-144=-80
Δ<0 wiec wielomian 6x²+8x+6 nie ma pierwiastków, wiec x=1 to jedyny pierwiastek W(x)