Proszę zrobić trzy poniższe przykłady z układów równań i wytłumaczyć mi jak rozwiązywać układy równa.... Question from @Mailartur

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!

No więc najpierw zacznijmy od równań z jedną niewiadomą, np:

$x+4=6$

Aby rozwiązać równanie musimy tak wykonywać obliczenia, aby niewiadome (czyli x) były po jednej a wiadome (czyli liczby) po drugiej stronie równania.

W powyższym wyrażeniu przeszkadza nam 4. Musimy więc "przenieść" ją na drugą stronę równania. Aby to zrobić należy wykonać obustronnie działanie na danej liczbie z odwrotnym znakiem.

A więc jeżeli mamy "+4" musimy dodać do równania "-4" po obu stronach działania, co zapisuje się tak:

$x+4=6\ \ \ /+(-4)$

$(x+4)-4=6-4$

$x=2$

Weźmy przykład z mnożeniem:

$x*4=6$

Ponownie musimy pozbyć się "4".

Aby pozbyć się mnożenia, musimy daną liczbę obustronnie podzielić i na odwrót, aby pozbyć się dzielenia musimy daną liczbę obustronnie pomnożyć.

A więc jeżeli mamy "razy 4" musimy podzielić równanie przez "4" po obu stronach działania.

$x*4=6\ \ \ /:4$

$x*4/4=6/4$

$x=2,5$

Analogicznie robimy dzielenie:

$x/4=6$

$x/4=6\ \ \ /*4$

$x/4*4=6*4$

$x=24$

Teraz przejdźmy do równań z dwoma niewiadomymi.

Weźmy na początek przykładowe równanie:

$\left \{ {{x-3y=-1} \atop {2x+4y=28}} \right.$

Nie możemy od razu przejść do wyznaczania rozwiązania. Musimy najpierw tak przenieść liczby, aby w jednym wierszu mieć tylko jedną niewiadomą.

Zacznimy więc od pierwszego wiersza - do wyznaczenia "x" przeszkadza nam "-3y", więc musimy je przenieść na drugą stronę. Tak jak w równaniach z jedną niewiadomą:

$\left \{ {{x-3y=-1\ \ \ /+3y} \atop {2x+4y=28\ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{x-3y+3y=-1+3y} \atop {2x+4y=28\ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{x=-1+3y} \atop {2x+4y=28}} \right.$

Mamy już wstępnie wyznaczny "x". Teraz musimy przenieść go do drugiego wiersza, podstawiając jego wartość:

$\left \{ {{x=-1+3y\ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {2(-1+3y)+4y=28}} \right.$

$\left \{ {{x=-1+3y\ \ \ \ \ } \atop {-2+6y+4y=28}} \right.$

Następnie redukujemy wyrazy podobne:

$\left \{ {{x=-1+3y\ \ } \atop {-2+10y=28}} \right.$

I przenosimy przeszkadzjącą nam "-2", czyli obustronnie dodajemy "+2":

$\left \{ {{x=-1+3y\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {-2+10y=28\ \ \ /+2}} \right.$

$\left \{ {{x=-1+3y\ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {-2+10y+2=28+2}} \right.$

$\left \{ {{x=-1+3y} \atop {10y=30\ \ \ }} \right.$

Teraz zostaje nam mnożenie, a więc musimy podzielić obustronnie przez "10":

$\left \{ {{x=-1+3y\ \ \ \ } \atop {10y=30\ \ \ /:10}} \right.$

$\left \{ {{x=-1+3y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {10*y/10=30/10\ \ \ /:10}} \right.$

$\left \{ {{x=-1+3y} \atop {y=3\ \ \ \ \ \ }} \right.$

Wyznaczyliśmy "y". Podstawiamy liczby i wyznaczamy "x":

$\left \{ {{x=-1+3*3} \atop {y=3\ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{x=-1+9} \atop {y=3\ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{x=8} \atop {y=3}} \right.$

W podobny sposób rozwiązujemy dane przykłady:

Przykład a)

$\left \{ {{2x+y=6} \atop {\frac{x}{4}-\frac{y}{5}=4}} \right.$

Musimy najpierw zlikwidować ułamki. Trzeba znaleźć najbliższy wspólny dzielnik mianowników "4" i "5". W tym wypadku jest to "20". Mnożymy równanie obustronnie przez "20".

$\left \{ {{2x+y=6\ \ \ \ \ \ \ } \atop {\frac{x}{4}-\frac{y}{5}=4\ \ \ /*20}} \right.$

$\left \{ {{2x+y=6\ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {(\frac{x}{4}-\frac{y}{5})*20=4*20}} \right.$

$\left \{ {{2x+y=6\ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {\frac{x}{4}*20-\frac{y}{5}*20=80}} \right.$

$\left \{ {{2x+y=6\ \ } \atop {5x-4y=80}} \right.$

Teraz możemy rozwiązać to jak "przykładowe równanie", które rozpisałam wcześniej.

Najłatwiej będzie nam wyznaczyć wstępnie y.

$\left \{ {{2x+y=6\ \ \ /-2x} \atop {5x-4y=80\ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{2x+y-2x=6-2x} \atop {5x-4y=80\ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{y=6-2x\ \ } \atop {5x-4y=80}} \right.$

Pod "y" podstawiamy "6-2x":

$\left \{ {{y=6-2x\ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {5x-4(6-2y)=80}} \right.$

$\left \{ {{y=6-2x\ \ \ \ \ \ \ } \atop {5x-24+8x=80}} \right.$

Teraz redukujemy wyrazy podobne:

$\left \{ {{y=6-2x\ \ \ \ \ } \atop {13x-24=80}} \right.$

$\left \{ {{y=6-2x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {13x-24=80\ \ \ /+24}} \right.$

$\left \{ {{y=6-2x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {13x-24+24=80+24}} \right.$

$\left \{ {{y=6-2x} \atop {13x=104}} \right.$

Musimy teraz zredukować mnożenie, dzielimy więc obustronnie przez "13".

$\left \{ {{y=6-2x\ \ \ \ \ \ \ } \atop {13x=104\ \ \ /:13}} \right.$

$\left \{ {{y=6-2x\ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {13x/13=104/13}} \right.$

$\left \{ {{y=6-2x} \atop {x=8\ \ \ \ }} \right.$

Teraz podstawiamy "8" pod "x".

$\left \{ {{y=6-2*8} \atop {x=8\ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{y=6-16} \atop {x=8\ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{y=-10} \atop {x=8\ \ \ }} \right.$

Przykład b)

$\left \{ {{3x-3y+3=0} \atop {x+\frac{1}{2}y-2=0}} \right.$

$\left \{ {{3x-3y+3=0\ \ \ /+3y} \atop {x+\frac{1}{2}y-2=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{3x+3=3y\ \ \ /-3} \atop {x+\frac{1}{2}y-2=0\ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{3x=3y-3\ \ } \atop {x+\frac{1}{2}y-2=0}} \right.$

$\left \{ {{3x=3y-3\ \ \ /:3} \atop {x+\frac{1}{2}y-2=0\ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{3x/3=3y/3-3/3} \atop {x+\frac{1}{2}y-2=0\ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{x=y-1\ \ \ \ \ } \atop {x+\frac{1}{2}y-2=0}} \right.$

Pod "x" podstawiamy "y-1":

$\left \{ {{x=y-1\ \ \ \ \ \ \ } \atop {y-1+\frac{1}{2}y-2=0}} \right.$

Redukujemy wyrazy podobne:

$\left \{ {{x=y-1\ \ \ } \atop {1\frac{1}{2}y-3=0}} \right.$

$\left \{ {{x=y-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {1\frac{1}{2}y-3=0\ \ \ /+3}} \right.$

$\left \{ {{x=y-1\ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {1\frac{1}{2}y-3+3=0+3}} \right.$

$\left \{ {{x=y-1} \atop {1\frac{1}{2}y=3}} \right.$

$\left \{ {{x=y-1\ \ \ \ \ \ \ } \atop {1\frac{1}{2}y=3\ \ \ /:1\frac{1}{2}}} \right.$

$\left \{ {{x=y-1\ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {1\frac{1}{2}y/1\frac{1}{2}=3/1\frac{1}{2}}} \right.$

$\left \{ {{x=y-1} \atop {y=2\ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{x=2-1} \atop {y=2\ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{x=1} \atop {y=2}} \right.$

Przykład c)

$\left \{ {{\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1} \atop {x-y=6}} \right.$

Znów musimy się najpierw pozbyć ułamków. Pierwszą wspólną wielokrotnością "2" i "3" jest "6". Mnożymy więc obustronnie przez "6":

$\left \{ {{\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1\ \ \ /*6} \atop {x-y=6\ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{(\frac{x}{3}+\frac{y}{2})*6=1*6} \atop {x-y=6 \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{\frac{x}{3}*6+\frac{y}{2}*6=6} \atop {x-y=6\ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{2x+3y=6} \atop {x-y=6\ \ }} \right.$

$\left \{ {{2x+3y=6\ \ \ /-3y} \atop {x-y=6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{2x+3y-3y=6-3y} \atop {x-y=6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{2x=6-3y} \atop {x-y=6\ \ }} \right.$

$\left \{ {{2x/2=(6-3y)/2} \atop {x-y=6\ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{2x=6-3y\ \ \ /:2} \atop {x-y=6\ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{x=3-1\frac{1}{2}y} \atop {x-y=6\ \ \ }} \right.$

$\left \{ {{x=3-1\frac{1}{2}y\ \ \ \ \ \ } \atop {3-1\frac{1}{2}y-y=6\ \ }} \right.$

$\left \{ {{x=3-1\frac{1}{2}y\ \ } \atop {3-2\frac{1}{2}y=6\ \ }} \right.$

$\left \{ {{x=3-1\frac{1}{2}y\ \ \ \ \ } \atop {3-2\frac{1}{2}y=6\ \ \ -3}} \right.$

$\left \{ {{x=3-1\frac{1}{2}y\ \ } \atop {-2\frac{1}{2}y=6-3}} \right.$

$\left \{ {{x=3-1\frac{1}{2}y} \atop {-2\frac{1}{2}y=3\ \ }} \right.$

Teraz musimy zmienić znak, tak by liczba niewiadomych była dodatnia. Robimy to poprzez obustronne mnożenie przez "-1". Taka czynność zmienia wszystkie znaki na przeciwne.

$\left \{ {{x=3-1\frac{1}{2}y\ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {-2\frac{1}{2}y=3\ \ \ /*(-1)}} \right.$