Question

Błagam o pomoc! Jest to zadanie 7, z strony 219, podręcznika Matematyka z plusem (nowa wersja) do klasy II gim.

Poniżej treść.

a) Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy 6cm i krawędzi bocznej 10cm.

b) Jakie pole powierzchni ma ostrosłup prawidłowy trójkątny o wysokości 5cm i krawędzi podstawy 9cm?

Proszę o obliczenie zadań z wzorami, albo chociaż wyliczenie danych i podanie wzoru do wyliczenia tych zadań, z resztą sobie poradzę, proszę o pomoc, bo nic z tego nie kumam :/

Answer 1

Wzór na objętość ostrosłupów:
V= 1/3 pole podstawy(Pp) * wysokość(H)

pole trójkąta równobocznego:
P= a² √3 ÷ 4

a) żeby było łatwiej to najpierw pole podstawy, potem wysokość i potem objętość:
Pp= 6² √3 ÷ 4
Pp= 36 √3 ÷ 4
Pp= 9 √ 3 cm²

h² + 12√3 ² = 10²
h² + 144 * 3 = 100
h²=432 - 100
h²= 332
h=√332

V= 1/3 × 9 √3 × √332
V=3 √3 x √332
V= 3√996 cm³

Answer 2

A) Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy 6cm i krawędzi bocznej 10cm.
a = 6 cm - krawędź podstawy ( krawędź trójkata równobocznego)
b = 10 cm - krawędź boczna ostrosłupa
h = 1/2*a*√3 - wzór na wysokość podstawy( trójkąta równobocznego)
H - wysokość ostrosłupa
V = ?

1. Obliczam wysokość h podstawy
h = 1/2*a*√3
h = 1/2*6 cm*√3
h = 3√3 cm

2.Obliczam pole podstawy( pole trójkata równobocznego)
Pp = 1/2*a*h
Pp = 1/2*a*3√3
Pp = 1/2*6 cm*3√3 cm
Pp = 9√3 cm²

3. Obliczam wysokość H ostrosłupa
z trójkata prostokątnego, gdzie:
H - przyprostokątna
2/3h -przyprostokatna
b - przeciwprostokatna

z tw. Pitagorasa
H² + (2/3h)² = b²
H² = b² - (2/3h)²
H² = (10 cm)² - (2/3*3√3)²
H² = 100 - 12 cm²
H² = 88 cm²
H = √88
H = √4*√22 cm
H = 2√22 cm

4. Obliczam objetość ostrosłupa
V = 1/3*Pp *H
V = 1/3*9√3 cm² *2*√22 cm
V = 6√3*√22 cm³
V = 6√66
V ≈ 48,74 cm³


b) Jakie pole powierzchni ma ostrosłup prawidłowy trójkątny o wysokości 5cm i krawędzi podstawy 9cm?
H = 5 cm - wysokość ostrosłupa
a = 9 cm - krawędź podstawy ( krawędź trójkąta równobocznego)
h = 1/2*a*√3 - wzór na wysokość podstawy( trójkąta równobocznego)
Pc = ? - pole całkowite ostrosłupa

1. Obliczam wysokośc h podstawy
h = 1/2*a*√3
h = 1/2*9 cm*√3
h = 9/2*√3 cm

2. Obliczam pole podstawy
Pp = 1/2*a*h
Pp = 1/2*9*9/2√3
Pp = (81/4)*√3 cm²

3. Obliczam wysokość hś ściany bocznej
z trójkata prostokatnego, gdzie:
H - przyprostokatna
1/3h - przyprostokatna
hś - przeciwprostokatna

(hś)² = H² + (1/3h)²
(hś)² = (5 cm)² +(1/3*9/2*√3 cm)²
(hs)² = 25 cm² + 27/4 cm²
(hś)² = 100/4 cm² + 27/4 cm²
(hś)² = 127/4 cm²
hś = √127 : √4
hś = √127: 2
hś = (1/2)*√127 cm

4. Obliczam pole boczne Pb ( pole 3 scian w postaci trójkatów równoramiennych)
Pb = 3*1/2*a*hś
Pb = 3/2*9 cm*(1/2)*√127 cm
Pb = (27/4)*√127 cm²

5. Obliczam pole całkowite
Pc = Pp + Pb
Pc = (81/4)*√3 cm² + (27/4)*√127 cm²
Pc = 27/4( 3√3 + √127) cm²
Pc ≈ 6,75*16,459
Pc ≈ 111,1 cm²