Question

2 Zadanka

Zad 1

W maszynopisie książki liczacej 200 stron jest 20 błędów literowych. Zakładając losowe występowanie błędów obilcz prawdopodobieństwo że na którejś stronie wystąpią przynajmniej 2 błędy

Zad 2 Rozdzielono losowo 18 uczniów na 3 6-cio osobowe drużyny. Jakie jest prawdopodobieństwo że 2 kolegów zagra w tej samej drużynie

Answer 1

Zad 1

W maszynopisie książki liczacej 200 stron jest 20 błędów literowych. Zakładając losowe występowanie błędów obilcz prawdopodobieństwo że na którejś stronie wystąpią przynajmniej 2 błędy

 

Wiemy, że mamy 20 błędów.

Wiemy, że książka ma 200 stron oraz wiemy, że każdy błąd może występować z jednakowym prawdopodobieństwem na każdej ze stron.

 

A zatem sprawdźmy, ile jest wszystkich możlowych rozkładów błędów pomiędzy strony.

 

Pierwszy błąd może znaleźć się na jednej z 200 stron - czyli 200 możliwości

Drugi błąd może znaleźć się na jednej z 200 stron, czyli liczbę możlowości mnożymy po raz kolejny przez 200

itd...

 

Zatem 20 błędów można rozmieścić na 200 stronach na 200²⁰ sposobów.

 

Niech p jest prawdopodobieństwem, że na którejś stronie wystąpią przynajmniej 2 błędy.

Niech q jest prawdopodobieństwem zdarzenia przeciwnego, czyli że na każdej stronie występuje co najwyżej jeden błąd.

Oczywiście p + q = 1, czyli p = 1 - q

p jest szukaną wartością.

 

Obliczmy q, bowiem jest ono prostsze do obliczenia.

Pytamy, na ile sposobów można rozmieścić 20 błędów, na 200 stronach, aby na jednej stronie nie wystąpiły 2 błędy.

 

Pierwszy błąd możemy umieścić na jednej z 200 stron

Drugi błąd możemy umieścić na jednej z 199 stron (na dowolnej stronie, poza tą, na której umieściliśmy pierwszy błąd)

Trzeci umieszczamy na jednej z 198 stron (wszystkie poza tymi dwoma, na których już są błędy)

itd...

 

W sumie możemy to zrobić na 200 * 199 * 198 * ... * 181 sposobów.

 

Zatem

q =

= 200 * 199 * 198 * ... * 181 / 200²⁰ =

= 199 * 8=198 * 197 * ... * 181 / 200¹⁹

 

Oczywiście p = 1 - q = 1 - 199 * 8=198 * 197 * ... * 181 / 200¹⁹

 

 

 

 

Zad 2

Rozdzielono losowo 18 uczniów na 3 6-cio osobowe drużyny. Jakie jest prawdopodobieństwo że 2 kolegów zagra w tej samej drużynie

 

Zadanie bardzo proste, należy tylko w odpowiedniej kolejności przeprowadzić losowanie drużyn.

Zróbmy to tak:

Niech osoby X i Y są wspominanymi kolegami.

Oznaczamy drużyny jako A, B i C

Na samym początku w żadnej drużynie nie ma żadnego zawodnika.

X trafia na samym początku, do jakiejś drużyny, nie ma znaczenia której, niech to będzie drużyna A.

Pozostało 17 osób (w nich jest Y), które należy podzielić pomiędzy 3 drużyny (przy czym w A pozostało 5 miejsc, a w B i C po 6 miejsc).

Zatem szansa, że Y trafi na jedno z tych 5 miejsc w drużynie A wynosi 5 / 17

Jest tak, bo 5 miejsc w drużynie A (czyli sytuacja zadowalająca kolegów X i Y), a wszystkim miejsc jest 17