2 zadania z logarytmów proszę o pomoc!!! .... Question from @serennity

October 2022 1 8 Report

2 zadania z logarytmów proszę o pomoc!!!

Logarytmy

$\huge{\boxed{log_ab=c \to a^c=b}}$

Powyej zapisany logarytm przeczytamy: "logarytm przy podstawie a z liczby b". Nazywamy nim tak liczbę c, że a podniesione do potęgi c daje liczbę b.

Działania na logarytmach

Jeżeli a>0, a≠1, b>0 oraz c>0, to zachodzą następujące równości:

$log_ab+log_ac=log_a(b*c)$
$log_ab-log_ac=log_a(\frac{b}c)$
$n*log_ab=log_a(b^n)=log_{a^{\frac1n}}b$
$a^{log_ab}=b$
$log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}$

Rozwiązanie:

Zadanie 10

$log_327=x\\3^x=27\\3^x=3^3\\x=3\\\\\boxed{log_327=3}$

$log_{27}3=x\\27^x=3\\(3^3)^x=3^1\\3^{3x}=3^1\\3x=1 /:3\\x=\frac13\\\\\boxed{log_{27}3=\frac13}$

$log_3\frac1{27}=x\\3^x=\frac1{27}\\3^x=27^{-1}\\3^x=(3^3)^{-1}\\3^x=3^{-3}\\x=-3\\\\\boxed{log_3\frac1{27}=-3}$

$log_{\frac1{27}}3=x\\(\frac1{27})^x=3\\(27^{-1})^x=3\\(3^3)^{-x}=3^1\\3^{-3x}=3^{1}\\-3x=1 /:(-3)\\x=-\frac13\\\\\boxed{log_{\frac1{27}}3=-\frac13}$

$log_{\frac13}27=x\\(\frac13)^x=27\\(3^{-1})^x=3^3\\3^{-x}=3^3\\-x=3 /*(-1)\\x=-3\\\\\boxed{log_{\frac13}27=-3}$

$log_{27}\sqrt3=x\\27^x=\sqrt3\\(3^3)^x=3^{\frac12}\\3^{3x}=3^{\frac12}\\3x=\frac12 /*\frac13\\x=\frac16\\\\\boxed{log_{27}\sqrt3=\frac16}$

$log_{\sqrt3}27=x\\(\sqrt3)^x=27\\(3^{\frac12})^x=3^3\\3^{\frac12x}=3^3\\\frac12x=3 /*2\\x=6\\\\\boxed{log_{\sqrt3}27=6}$

$log_{27}3\sqrt3=x\\27^x=3\sqrt3\\(3^3)^x=3^1*3^{\frac12}\\3^{3x}=3^{\frac32}\\3x=\frac32 /*\frac13\\x=\frac32*\frac13\\x=\frac12\\\\\boxed{log_{27}3\sqrt3=\frac12}$

Zadanie 11

$log_28+log_{\frac12}4+log_9{81}\\log_28=x\\2^x=8\\2^x=2^3\\x=3\\\\log_{\frac12}4=y\\(\frac12)^y=4\\(2^{-1})^y=2^2\\2^{-y}=2^2\\-y=2 /*(-1)\\y=-2\\\\log_981=z\\9^z=81\\9^z=9^2\\z=2\\\\log_28+log_{\frac12}4+log_981=3+(-2)+2=5-2=\boxed3$

$log0,1+log1000+log_{0,1}10\\\\log0,1+log1000=log(0,1*1000)=log100=x\\log100=x\\10^x=100\\10^x=10^2\\x=2\\\\log_{0,1}10=y\\(0,1)^y=10\\(10^{-1})^y=10\\-y=1 /*(-1)\\y=-1\\\\log0,1+log1000+log_{0,1}10=2-1=\boxed1$

$log_327-log_42-log_2\frac18\\\\log_327=x\\3^x=27\\x=3\\\\log_42=y\\4^y=2\\y=\frac12\\\\log_2\frac18=z\\2^z=\frac18\\z=-3\\\\log_327-log_42-log_2\frac18=3-\frac12-(-3)=3-\frac12+3=6-\frac12=\boxed{5\frac12}$

$log_{36}6+log_{16}4-log_82\\\\log_{36}6=x\\36^x=6\\(6^2)^x=6\\6^{2x}=6\\2x=1 /:2\\x=\frac12\\\\log_{16}4=y\\16^y=4\\(4^2)^y=4\\4^{2y}=4\\2y=1 /:2\\y=\frac12\\\\log_82=z\\8^z=2\\(2^3)^z=2\\2^{3z}=2\\3z=1 /:3\\z=\frac13\\\\\\log_{36}6+log_{16}4-log_82=\frac12+\frac12-\frac13=1-\frac13=\boxed{\frac23}$