Question

Wyznacz punkty wspólne wykresów wielomianów u i w
u(x)= 1/8 x⁴-x²+x-3
w(x)= -1/8x⁴-1/2 x²+x-1

Answer 1

Wszystko zaznaczasz klamra i wyliczasz 2 na raz.... lub tez osobno delta i sprawdzasz ptk... ale ja polecam to 1..
i za wielomian oczywiscie przyjmujesz 0.

Answer 2

Wyznacz punkty wspólne wykresów wielomianów u i w
u(x)= 1/8 x⁴-x²+x-3
w(x)= -1/8x⁴-1/2 x²+x-1


1/8 x⁴-x²+x-3= -1/8x⁴-1/2 x²+x-1

1/4 x⁴-1/2x²-2=0 /*4

x⁴-2x²-8=0

zmienna t=x² i t≥0
t²-2t-8=0
Δ=4+32=36
t₁=(2-6):2=-2 odpada
t₂=(2+6):2=4
x²=4
x=2 v x=-2

Answer 3

Punkty wspólne wykresu, to takie punkty, gdzie wykres wielomianu u(x) przecina się z wykresem wielomianu w(x), czyli

u(x) = w(x)

Z treści zadania wiemy, że:

u(x)= 1/8 x⁴-x²+x-3
w(x)= -1/8x⁴-1/2 x²+x-1

Zatem podstawmy nasze dane do równania:

1/8 x⁴-x²+x-3 = -1/8x⁴-1/2 x²+x-1

2/8x⁴ - 1/2x² - 2 = 0

1/4x⁴ - 1/2x² - 2 = 0 // ×4

x⁴ - 2x² - 8 = 0

Teraz zastosujemy podstawienie a = x².

a² - 2a - 8 = 0

Dzięki podstawieniu mamy do rozwiązania równanie kwadratowe. Wobec tego policzmy wyznacznik trójmianu kwadratowego:

Δ = (-2)² - 4 × 1 × (-8) = 4 + 32 = 36

a₁ = (-(-2) - (√36)) : 2 = (2 - 6)/2 = (-4)/2 = (-2)
a₂ = (-(-2) + (√36)) : 2 = (2 + 6)/2 = 8/2 = 4

===========================================================

W tym miejscu możemy zauważyć pewien fakt.

Ponieważ a = x², to a musi być liczbą nieujemną (większą bądź równą zeru), więc pod uwagę bierzemy tylko a₂.

a = a₂ = 4 = x²

x² = 4

x = 2 lub x = (-2)

Jeśli nie zauważymy tego faktu możemy dalej rozwiązywać równanie.

===========================================================

(a - (-2)) × (a - 4) = 0

(a + 2) × (a - 4) = 0 a = x²

(x² + 2) × (x² - 4) = 0

(x² + 2) × (x - 2) × (x + 2) = 0

x = 2 lub x = (-2)

===========================================================

Policzyliśmy już argumenty, dla których funkcje u i w przyjmują tę samą wartość. Pozostaje nam tylko obliczyć drugą współrzędną tych punktów, czyli wartość funkcji w tym punkcie. W tym celu podstawmy liczby 2 i -2 do wzoru na u(x) lub w(x) (w tych punktach funkcje są sobie równe, więc obojętne, który wzór wybierzemy).

u(2) = 1/8 × 2⁴ - 2² + 2 - 3 = 2 - 4 + 2 - 3 = (-3)

A = (2, -3) = jeden punkt wspólny wykresów wielomianów u i w

u(-2) = 1/8 × (-2)⁴ - (-2)² + (-2) - 3 = 2 - 4 - 2 - 3 = (-7)

B = (-2, -7) = drugi punkt wspólny wykresów wielomianów u i w

===========================================================

Odpowiedź:
Wielomiany u(x)= 1/8 x⁴-x²+x-3 i w(x)= -1/8x⁴-1/2 x²+x-1 mają dwa punkty wspólne:

A = (2, -3)
B = (-2, -7)