Question

Bardzo, bardzo ważne!

Zadania:

1. 2 szeregi
2. Funkcja odwrotna, wyznaczyć dziedzinę y=4-2arcsin[(3+x)/x]
3. Wyznaczyć punkty nieciągłości i obliczyć asymptoty f(x)= lnx/x^2-1
4. Obliczyć punkty przegięcia, przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji f(x) x^2 * e^x
5. Obliczyć całki:
a) całka 2/x^2-1 dx
b) całka oznaczona 0^pi/2 x*sinx dx

Answer 1

Popracuj nad formułowaniem zadań bo nie można Ciebie zrozumieć.

1. jakie te szeregi ?
2. mam wyznaczć funkcje odwrotną do zadanej ?

y=4 - 2 arcsin[ \frac{3+x}{x} ]

Zajmiemy się teraz dziedziną tej funkcji:

arcsin(z) \epsilon <- \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} >

zatem z \epsilon <-1 , 1>
czyli frac{3+x}{x} \epsilon (-1, 1>
widząc że to hiperbola o asymptotach poziomych y=1 i pionowych x=0,
wiemy że szukany przedział to (- \infty , - \frac{3}{2}>
bo x=- \frac{3}{2}  arcsin(x) = -1,

http://img841.imageshack.us/img841/683/x3overx.jpg
zaznaczony punkt to punkt określający koniec przedziału


Teraz po wyznaczeniu dziedziny zajmiemy się funkcją odwrotną.
Przeciw dziedzina to <4- \pi , 4+ \pi>
Licząc funkcje odwrotną przeciwdziedzina staje się dziedzina funkcji odwrotnej, a dziedzina - przeciwdziedziną.
Wiedząc że funkcja na przedziale wyznaczonym wcześniej jest ciągła to na mocy tw. Darboux wiemy że nasz przedział przyjmuje

wszystkie wartości pośrednie, ponad to wiemy że funkcja na tym przedziale jest monotoniczna, zatem jest to funkcja 1-1 więc istnieje

funkcja do niej odwrtona.
Nasza funkcja odwrotna jest postaci:
x= 4 - 2arcsin ( \frac{y+3}{y})
\frac{-x+4}{2}= arcsin ( \frac{y+3}{y})
\frac{y+3}{y} = sin( \frac{-x+4}{2} )
\frac{3}{y} = -1 + sin( \frac{-x+4}{2} )
y = \frac {3}{-1 + sin( \frac{-x+4}{2} )}
jak widać z równania pojawia się tu punkt osobliwy w x=4, ale że wiemy że punkt (4,-3) należał do funkcji f(x), to punkt (-3,4) należy do

funkcji odwrtnej.
A oto kilka wykresów by lepiej to zilustrować.

http://img153.imageshack.us/img153/9696/odwrotna.jpg
wykres 'porownanie funkcji' to nałożone na siebie wykresy powyżej, jak widac idelanie się pokrywają i sprawdzają nasze obliczenia.

3. Wyznaczyć punkty nieciągłości i obliczyć asymptoty f(x)=  \frac{lnx}{x^2-1}

punkt nieciągłości, czyli punkt który jest nieokreślony dla funkcji
występuje w miejscu dzielenia przez zero.
x^{2} -1 = 0 , czyli x=1 lub x = -1, ale że x= -1 nie należy do dziedziny to tylko zostaje x = 1.
a dziedzina funkcji to przedział nieujemny liczb rzeczywistych,
Asymptoty poziome:
\lim_{x \to \infty} \frac{lnx}{x^2-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0
Asymptoty pionowe:
\lim_{x  \to 0} \frac{lnx}{x^2-1} = - \infty
Asymptoty ukośne:
brak,

4. Obliczyć punkty przegięcia, przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji f(x)= x^2 * e^x

\frac{df}{dx} = e^x * (2x + x^2)
\frac{d^2 f}{dx^2} = e^x * (4x + x^2 + 2)
\frac{d^2 f}{dx^2} = 0  <=> e^x * (4x + x^2 + 2) = 0, to 4x + x^2 + 2 = (x + 2 - sqrt{2})(x + 2 + sqrt{2}) = 0
czyli x = -2+ sqrt{2} lub x = -2 - sqrt{2}

wypukła dla:
x \epsilon ( - \infty , -2 - sqrt{2}) and  (-2 + sqrt{2},  \infty )
wklęsła dla:
x \epsilon (-2 - sqrt{2}, -2 + sqrt{2})
punkty przegięcia:
x = -2+ sqrt{2} i  x = -2 - sqrt{2}


5. Obliczyć całki:
a) całka 2/x^2-1 dx
No i znowu niejasność w formułowaniu zadania, czy chodzi o 2/(x^2 - 1) , czy o 2/x^2    -1   (ten drugi przypadek jest bardziej trywialny

więc rozważe oba).

\int \frac{2}{x^2} -1  dx =  - x + 2 \int - \frac{1}{3} * 3 x^{-2} dx = -x  - frac{2}{3}x^{-3} + c

przez podstawienie:
tg(u) = x
u = arctg(x)
du = \frac{1}{x^2 + 1} dx
\int \frac{2}{x^2-1}  dx = \int 2  du  = 2u = 2arctg(x) + c

b) całka oznaczona 0^pi/2 x*sinx dx
przez części:
\int \limits^{\frac{\pi}{2}}_0 x*sin x  dx = -x*cosx  +  \int \limits^{\frac{\pi}{2}}_0 cos x  dx = -x*cosx + sinx  (na przedziale 0  \frac{\pi}{2} ) =
= 0 + 1  - 0 + 0 = 1