Question

W układzie współrzędnych (x, y) punkt A=(9, 12) jest wierzchołkiem trójkąta ABC.
Prosta k o równaniu y=1/2 * x zawiera dwusieczną kąta ABC tego trójkąta. Okrąg O o równaniu (x-8)^2 + (y-4)^2 = 16 jest wpisany w ten trójkąt.
Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki B i C tego trójkąta z okręgiem O.
Proszę o pomoc, z rysunkiem. ​

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Prosta

zawiera dwusieczną kąta ABC tego trójkąta. Oznacza to, że przechodzi przez punkt B.

Okrąg

jest wpisany w trójkąt. Z faktu, że dwusieczne kątów trójkąta wyznaczają środek okręgu wpisanego, wnioskujemy, że środek okręgu leży na prostej k. Okrąg ten ma środek i promień .

Skoro punkt B leży na prostej k, to jego współrzędne można zapisać jako

Wyznaczmy prostą AB w zależności od .

Celem policzenia skorzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej. W tym przypadku odległość środka okręgu S od prostej AB będzie równa promieniowi.

Najpierw przedstawmy prostą AB w postaci ogólnej.

Wstawiamy dane do wzoru na odległość punktu od prostej i przyrównujemy do długości promienia.

Mamy dwie możliwości dla punktu B.

Jednak ten drugi punkt musimy odrzucić, bo leży on na okręgu, więc nie może być wierzchołkiem trójkąta, w którym okrąg jest wpisany.

Zatem ostatecznie

Ponieważ punkt B leży na osi OX oraz okrąg jest styczny do tej osi, to bok BC zawiera się w prostej

Stąd już łatwo wyznaczyć punkt styczności (nazwijmy go D) prostej BC z okręgiem.

Zatem

Uwaga: Poniższe obliczenia nie są potrzebne, bo odpowiedź już mamy, ale wykonamy je dla dobrego rysunku.

Skoro punkt C leży na prostej BC, to jego współrzędne można zapisać jako

Prostą AC wyznaczymy, korzystając z punktu A i odrzuconego punktu styczności.

Teraz można policzyć współrzędne punktu C.