Question

1) Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność -x<1/1- √2.

2) Oblicz wartość wyrażenia √a + √b/ a-b : a*b/√a - √b dla a=3 +√2 i b= 3-√2.

3) Ile jest liczb całkowitych spełniających jednoczesnie obie nierówności?

¼ x - (¹/₈ - ½ x) ≥ x- ⁵/₄

(2-x)² ≤ (x +1)²

Dziękuję za pomoc!

Answer 1

zadanie 1.

 

/  - kreska ułamkowa

 

 

 

-x < 1 / 1-√2

 

usuwamy niewymierność z mianownika:

1 / 1-√2 · 1+√2 / 1+√2 = 1+√2 / -1

 

 -x < 1+√2 / -1     /·(-1)

  x > 1+√2                        √2 ≈ 1,41

  x > 1+1,41

  x > 2,41

 

szukamy najmniejszej liczby całkowitej, która spełnia tą równość. jest nią liczba 3, bo 3 > 2,41.

 

odp: Ta liczba to 3.

 

zadanie 2.

 

najpierw przekształcamy wzór do jak najprostszej postaci:

√a+√b / a-b : a·b / √a-√b = √a+√b / a-b · √a-√b / a·b = (√a+√b) ·(√a-√b) / (a-b) · ab =

a-√ab+√ab-b / a²b-ab² = a-b / a²b-ab²  

 

teraz podstawiamy za a=3 +√2 i b= 3-√2.

 

(3+√2)-(3-√2) / (3+√2)²·(3+√2)-(3+√2)·(3-√2)² =

3-√2-3+√2 / ((3²+2·3·√2+(√2)²)·(3-√2))-((3+√2(3²-2·3·√2+(√2)²))) =

2√2 / ((9+6√2+2)·(3-√2)) - (3+√2(9-6√2+2)) =

2√2 / ((11+6√2)·(3-√2))-(3+√2·(11-6√2)) =

2√2 / (33-11√2+18√2-12)-(33-18√2+11√2-12) =

2√2 / (21+7√2) - (21-7√2) =

2√2 / 21+7√2-21+7√2 =

2√2 / 14√2 = 1/7

 

odp: Wartość tego wyrażenia wynosi 1/7.

 

 

zadanie 3.

1/4x - (1/8 - 1/2x) ≥ x - 5/4

  1/4x - 1/8 + 1/2x ≥ x - 5/4

     1/4x + 2/4x - x ≥ -10/8 + 1/8

                    -1/4x ≥ -9/8   /:(-1/4)

                          x ≤ 4,5

 

              (2 - x)² ≤ (x + 1)²

   2² - 2·2·x + x² ≤ x² + 2·x·1 + 1²

         4 - 4x + x² ≤ x² + 2x + 1

-4x + x² - x² - 2x ≤ 1 - 4

                    -6x ≤ -3    /:(-6)

                      x ≥ 0,5

 

 

 

rysujemy oś :

 

x ≤ 4,5  (nazwijmy je a)

x ≥ 0,5  (nazwijmy je b)

 

 

                       b ->               <- a

                       I                         I

--- -2 -- -1 -- 0 -- 1 -- 2 -- 3 -- 4 -- 5 -- 6 -- 7 -------->

 

liczby całkowite spełniające jednocześnie obie nierówności to 1,2,3,4. jest ich cztery.

 

odp: Takich liczb jest cztery.

 

 

 

 

 

 

 

mam nadzieję, że pomogłam. pozdrawiam, mishon :*