Question

A) Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb dodatnich a,b prawdziwa jest nierówność:

a+b / 2 < √a² + b² /2 (ułamek pod pierwiastkiem)


b) Wykorzystując nierówność z punktu a), wykaż, że prawdziwa jest nierówność:

√2¹⁰⁰ - 2 ( wszystko pod pierwiatskiem) + √2¹⁰⁰ + 2 (wszystko pod pierwiastkiem) < 2⁵¹

Answer 1

A) Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb dodatnich a,b prawdziwa jest nierówność:

(a+b) /2 < √a² + b² /2 (ułamek pod pierwiastkiem)

Podniesmy obie strony do kwadratu. Ze wzoru skroconego mnozenia mamy:

(a²+2ab+b²)/4 < (a² + b²)/2

Pomnozmy obie strony przez 4 i przniesmy wszystkie wyrazy na prawa strone:

0<a²-2ab+b²
czyli

0<(a-b)²
A ta nierownosc jest prawdziwa jesli a jest rozne od b.

------------------------------------------------------------------------------
b) Wykorzystując nierówność z punktu a), wykaż, że prawdziwa jest nierówność:

√2¹⁰⁰ - 2 ( wszystko pod pierwiatskiem) + √2¹⁰⁰ + 2 (wszystko pod pierwiastkiem) < 2⁵¹

Jezeli przyjmiemy a = √(2¹⁰⁰ - 2) i b = √(2¹⁰⁰ + 2) i wstawimy to do nierownosci z punktu (a), to dostaniemy

(√(2¹⁰⁰ - 2) + √(2¹⁰⁰ + 2))/2 < √(( 2¹⁰⁰ - 2 + 2¹⁰⁰ + 2)/2)

czyli
(√(2¹⁰⁰ - 2) + √(2¹⁰⁰ + 2))/2 < √(2 2¹⁰⁰/2)

(√(2¹⁰⁰ - 2) + √(2¹⁰⁰ + 2))/2 < 2^(50)
Mnozac przez 2:

√(2¹⁰⁰ - 2) + √(2¹⁰⁰ + 2) < 2⁵¹