zad: rozwiąż nierówność trygonometryczną cos2x/sinx.... Question from @malymis

malymis @malymis

October 2018 1 20 Report

zad: rozwiąż nierówność trygonometryczną cos2x/sinx<1 w przedziale (-π/2;π/2) proszę o pomoc :)

malachit

$\frac{\cos2x}{sinx} < 1$

założenie: $\sin x \neq 0\ <=>\ x\neq k\pi, k\in \mathbb{Z}\ <=> x\neq0$

Ponieważ naszą nierówność rozpatrujemy w bardzo ograniczonym przedziale:

$(-\frac{\pi}2,0)\cup (0,\frac{\pi}2)$

proponuję rozwiązać ją graficznie. Aby tego dokonać, najpierw musimy pozbyć się sinusa z mianownika. Przy przyjętym założeniu, że x jest różne od zera, możemy zwyczajnie pomnożyć obie strony nierówności razy sinus x. Trzeba jednak pamiętać, że w przedziale $(-\frac{\pi}2,0)$ sinus x przyjmie wartości ujemne, a w przedziale $(0,\frac{\pi}2)$ - dodatnie.

W takim wypadku otrzymamy coś takiego:

$\begin{cases}\cos2x>\sin x,\ x\in (-\frac{\pi}2,0)\\ \cos2x<\sin x,\ x\in (0,\frac{\pi}2)\end{cases}$

Teraz wystarczy narysować funkcje $f(x)=\cos2x$ oraz $g(x)=\sin x$ w jednym układzie współrzędnych (w rozpatrywanym przedziale). Będzie to wyglądało następująco (załącznik).

Rozpatrzmy pierwszy przedział (x < 0). Widać, że w całym tym przedziale (nietrudno udowodnić, że wykresy obu funkcji przetnąż się w punkcie $x=-\frac{\pi}2$ ) warunek jest spełniony - wykres funkcji $f(x)=\cos 2x$ jest "nad" wykresem funkcji $g(x)=\sin x$ . Matematycznie móimy, że w tym przedziale funkcja $f(x)$ przyjmuje większe wartości od funkcji $g(x)$ .

Weźmy teraz przedział drugi (x > 0). Widać, że nierówność spełniona będzie od pewnego punktu przecięcia, do końca rozpatrywanego przedziału. Cała trudność polega więc tylko na wyznaczeniui współrzędnej x przecięcia obu wykresów funkcji. Nietrudno zgadnąć, że będzie to punkt dla $x=\frac{\pi}6$ , ponieważ: