Question

Pytanie trochę natury "zrozumienia" zagadanienia,
jeśli mam następującą sytuację - dany jest helikopter wznoszący się z prędkością 5m/s do góry - w jakiejś tam chwili jest na wysokości 1000m i w tej chwili strzelamy pionowo w dół pocisk z prędkością 550m/s (wzgl lufy) to prędkość pocisku względem ziemi jest równa 555m/s czy 545? wydaję mi się że 545 ale znając moją fizyczną intuicję pewnie 555... a żeby znaleźć wysokość po 1s, trzeba ją znaleźć ze wzoru h=vt-(gt^2)/2, prawda? czy +gt? te zwroty mi się już kompletnie mylą, nie mam pojęcia jak to sobie wyobraźić

Answer 1

Umieszczam początek układu współrzędnych na ziemi i skierowany pionowo do góry. 

Prędkość pocisku względem ziemi - będzie sumą prędkości helikoptera względem ziemi oraz pocisku względem helikoptera:


gdzie: 
- prędkość pocisku wzlgędem ziemi
- prędkość helikoptera względem ziemi 
- prędkość pocisku względem helikoptera (znak minus informuje o tym, że prędkość pocisku jest skierowana przeciwnie do kierunku ruchu helikoptera czyli pionowo w dół)

Równanie ruchu pocisku względem ziemi będzie wyglądać następująco: 


gdzie:


wtedy: 

Po podstawieniu mamy: 



Ważne w takich zadaniach jest umiejscowienie układu współrzędnych.
Można (zwykle tak się robi), że początek układu jest na ziemi.
W tym przykładzie mamy do czynienia z dwoma układami współrzędnych - jeden jest związany z ziemią a drugi jest związany z helikopterem. 

Ruch pocisku względem helikoptera można zapisać jako: 


gdzie: 
- to położenie pocisku względem helikoptera
- w tym wypadku = 0 m gdyż wystrzał nastąpił z helikoptera
= -550 m/s



po podstawieniu mamy: 


Czyli po jednej sekundzie pocisk znalazł się 555m od helikoptera, ale w tym samym czasie helikopter przemieścił się a przemieszczenie to można zapisać jako: 


gdzie: 
- przemieszczenie helikoptera względem ziemi

- prędkość helikoptera względem ziemi 

Po podstawieniu mamy: 


Po jednej sekundzie pocisk znajduje się 555m od helikoptera, natomiast helikopter znajduje się 1005m nad ziemią. 
Można zatem wyliczyć w którym miejscu znajduje się pocisk: 
1005 - 555 = 450m 

Wynik jest taki jak poprzednio - niezależnie od obranego układu współrzędnych. 

Answer 2

Zacznijmy od prędkości pocisku względem ziemi. Oczywiście w tym przypadku wynosi ona 545 m/s  (lub jeśli przyjmiemy odwrotny zwrot osi to wtedy -545 m/s ale o tym za chwile).
Wektorowo prędkość "wypadkowa" to zawsze suma wektora prędkości układu () i wektora prędkość względem niego ():

Ponieważ w naszym przypadku wektor prędkości ma przeciwny zwrot, to co do wartości wypadkową prędkość obliczamy jako:
V = -5 + 550 = 545 m/s

Teraz co do znaków w równaniach kinematyki.
Jeżeli rozwiązujemy zadania w układzie współrzędnych to wszystko zależy od przyjętego układu. Możliwości wyboru jest kilka - zarówno co do wyboru początku osi jak i odnośnie wyboru zwrotu osi.

Dla przykładu rozważmy tylko dwie wersje:

1) oś ma początek na dole na ziemi i jest skierowana ku górze.
Wtedy równanie określające współrzędną y ma postać:

i wysokość h po czasie np. t = 1 s :


2) oś ma początek przy początkowym położeniu balonu i jest skierowana w dół.
Wtedy równanie określające współrzędną y ma postać:

i wysokość h po czasie np. t = 1 s :


Jak widać niezależnie od przyjętego układu wyniki zawsze wyjdą :) identyczne.

I jeszcze jedna uwaga ogólna. Jeśli rozwiązujesz takie zadania w układzie współrzędnych to przy określaniu znaków w równaniach nie zastanawiaj się czy ruch jest opóźniony czy przyspieszony. Znaki przy vo i przy g wynikają tu tylko ze zwrotu danego wektora względem osi.