Question

Bardzo proszę o rozwiązanie, błagam wręcz :P

1. Wyznacz zbiór wszystkich punktów, których suma odległości na osi liczbowej od punktów 0 i 1 jest niewiększa niż 3.


2. rozwiąż nierówność:
sinx(cosx - 1/2) < 0

3. W równoległoboku ABCD dane są: |AB| = 6, |AD| = 4 i |BD| = 2√10. Oblicz cosinus kąta CAD

Answer 1

1. Wyznacz zbiór wszystkich punktów, których suma odległości na osi liczbowej od punktów 0 i 1 jest niewiększa niż 3.

Odleglosc miedzy liczbami a i b na osi liczbowej to wartosc bezwzgledna ich roznicy, czyli

**********(odleglosc miedzy a i b) = |a-b|

(Narysuj sobie os, zaznacz np liczby 4 i -3 i zobaczysz, ze odleglosc jest rowna 7, a to jet |-3-4| ).
A wiec jesli oznaczymy punkty (liczby) z zadania przez x, to dostaniemy:

|x-0|+|x-1|≤ 3 Tzn

|x| + |x-1| ≤ 3

Rozwiazujemy
Przypadek 1. x≥0 i x-1≥0 czyli x≥1

x+x-1≤ 3
2x≤ 4
x≤ 2
czyli---------------------- x∈[1,2]

Przypadek 2.
x<0 i x+1<0 czyli x<-1

-x-x+1≤ 3
-2x≤ 2 /:(-2)
x≥-1

czyli zbior pusty, bo x mialo byc mniejsze do -1.

Przypadek 3.
x<0 i x+1≥0 czyli x<0 i x≥-1 czyli x∈[-1,0)

-x + x-1≤3
-1≤3 zawsze spelnione, wiec

----------------------------------------x∈[-1,0)

Przypadek 4.
x≥0 i x-1<0 x∈[0,1)

x-x+1≤3
1≤3 zawsze spelnione czyli
--------------------------------------- x∈[0,1)

Zatem mamy rozwiaznie:
******************************* x∈[-1,0)u[1,2]u[0,1) = [-1,2]**********

Odp. Wszystkie liczby z przdzialu [-1,2].


2. rozwiąż nierówność:
sinx(cosx - 1/2) < 0

Iloczyn dwu liczb jest uemny wtedy i tylko wtedy gdy te liczby maja przeciwne znaki. Czyli

(I) sin(x)>0 i cos(x)-1/2<0
lub
(II) sin(x)<0 i cos(x)-1/2>0

Rozwiazujemy (I):

sin(x)>0 wtw x∈(0,π)+2kπ czyli
x∈(2kπ, (2k+1)π), k calkowite.

cos(x)<1/2 wtw gdy

x∈((π/3)+2kπ, (5/3)π+2kπ)
Zatem (I) jest spelnione wtw gdy

-------------------------------- x∈((π/3)+2kπ,(2k+1)π), k calkowite

(II) Podobnie:
sin(x)<0 wtw x∈((5/3)π, 2π) + 2kπ czyli

------------------------------ x∈((5/3)π+ 2kπ, 2π+ 2kπ)

Rozwiazaniem jest suma zbiorow (I) i (II) czyli

***********x∈((π/3)+2kπ,(2k+1)π) u ((5/3)π+ 2kπ, 2π+ 2kπ)*******