Question

Dla jakich wartości parametru m (m∈R) okręgi opisane równaniami:
o₁:(x+1)²+(y-m)²=4 oraz o₂:(x+m)²+(y-2)²=1 mają dokładnie jeden punkt wspólny?
Odp: m∈{1,2,(3-√17)/2,(3+√17)/2
jak to obliczyć?

Answer 1

Jeśli okręgi mają dokładnie jeden punkt styczności, to znaczy, że odległość między ich środkami jest równa sumie promieni (styczność zewnętrzna). Jeśli odległość między środkami równa się różnicy promieni, to jest wtedy styczność wewnętrzna.

Środki to:
S₁=(-1;m)
S₂=(-m;2)
No i
r₁=2
r₂=1

(-1-(-m))²+(m-2)²=(2+1)²
1-2m+m²+m²-4m+4=9
2m²-6m-4=0
m²-3m-2=0
Δ=√17
m₁=(3-√17)/2
m₂=(3+√17)/2

jeśli są styczne wewnętrznie to
|S₁S₂|=r₁-r₂

(-1-(-m))²+(m-2)²=(2-1)²
1-2m+m²+m²-4m+4=1
2m²-6m+4=0
m²-3m+2=0
....
m₃=1
m₄=2