Question

Na środku obracającej się swobodnie płyty w kształcie krążka o promieniu r i masie m stoi człowiek o masie M. Płyta została rozkręcona do prędkości początkowej równej w0 i wtedy człowiek zaczął poruszać się w stronę brzegu płyty.
a) Jak będzie zachowywał się ten układ podczas ruchu człowieka i z czego to wynika? (przyjmij ze w rozpatrywanym przedziale czasu momenty sil zewnętrznych działających na ten układ są zaniedbywalne)
b) wyprowadz wzor na predkosc katową plyty gdy czlowiek znajdzie sie na jej brzegu )w odleglosci r od srodka). Przyjmij ze moment bezwłądnosci plyty wzgl, osi obrotu wynosi Jo=mr^2/2, czlowieka potraktuj jako masę punktową.

Answer 1

Część a)

W miarę jak człowiek będzie się zbliżał do brzegu płyty, maleć będzie prędkość obrotowa. Jest to związane ze zmianą momentu bezwładności układu człowiek - płyta.

Moment pędu, który została nadane układowi człowiek-płyta, wyraża się wzorem:



gdzie I jest początkowym momentem bezwładności, a prędkością obrotową.

Ponieważ na układ nie działają zewnętrzne momenty sił, pęd układu pozostanie stały, zmieni się natomiast rozmieszczenie mas - odległość masy człowieka od osi obrotu wzrośnie.

Moment bezwładności układu po przemieszczeniu się człowieka w stronę krawędzi oznaczmy jako , a prędkość kątową po zmianie - .

Wówczas z zasady zachowania momentu pędu:



Możemy z tej zależności obliczyć jaka będzie prędkość kątowa po zmianie:



Ponieważ moment bezwładności jest większy od początkowego (wzrósł kwadrat odległości masy człowieka od osi), prędkość kątowa będzie mniejsza od początkowej.

Podobne doświadczenie możemy przeprowadzić samodzielnie na przykład na krześle obrotowym. Trzymając ręce blisko tułowia rozkręcamy się aż do uzyskania pewnej prędkości. Wówczas prostujemy ręce i rozkładamy na boki. Obserwujemy zmniejszenie prędkości obrotowej.

Część b)

Moment bezwładności płyty



Całkowity moment bezwładności będzie sumą momentu bezwładności płyty i człowieka.

Moment bezwładności człowieka traktowanego jako masa punktowa w odległości r od osi obrotu wynosi:



Zatem moment bezwładności układu z człowiekiem stojącym na krawędzi płyty:


Wówczas prędkość kątowa układu z pierwszego wzoru

Answer 2

A)
W miarę jak człowiek będzie zbliżał się do brzegu to krążek będzie zwalniał. Wynika to z zasady zachowania momentu pędu. Moment pędu na początku wynosi:

Podczas gdy człowiek przemieszcza się w stronę brzegu prędkość stopniowo maleje, aż do chwili gdy człowiek dojedzie na sam brzeg. Wtedy moment pędu wynosi:


Obie wartości pędów są sobie równe:


b)
Już prawie to zrobiliśmy, teraz tylko wystarczy podstawić pod moment bezwładności podaną wartość zadania: