Question

1) Oblicz sześć początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

a) a1= -2, r=3

b) a4=16, r=5

c) a1= 1/2, a4= 5

d) a2= 3/2, a5=3

2) Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego

a) a15=52, a4=19

b) a2=6, a7-a4= 12

c) a3= -2 , a5=-8

d) a3+a6= 29 , a5+a11=50

3) Oblicz sumę podanego ciągu liczb (wzór na sumę!)

a) 7+9+11+...+179

b) 1+(-6)+(-13)+...+(-202)

4) Oblicz sumę dwudziestu początkowych liczb parzystych podzielnych przez 6.

5) Oblicz sumę liczb DWUCYFROWYCH NIEPARZYSTYCH

Answer 1

1) a) a₁ = -2 , r = 3

a₂ = - 2 + 3 = 1

a₃ = - 2 + 2 · 3 = - 2 + 6 = 4

a₄ = - 2 + 3 · 3 = - 2 + 9 = 7

a₅ = - 2 + 4 · 3 = - 2 + 12 = 10

a₆ = - 2 + 5 · 3  = - 2 + 15 = 13

 

b) a₄ = 16, r = 5

Korzystam z wzoru na an żeby obliczyć a₁:

16 = a₁ + (4 - 1) · 5

16 = a₁ + 3 · 5

a₁ = 1

a₂ = 1 + 5 = 6

a₃ = 1 + 2 · 5 = 11

a₄ = 16

a₅ = 1 + 4 · 5 = 21

a₆ = 1 + 5 · 5 = 26

 

c) a₁ = 1/2, a₄ = 5

a₄ = a₁ + 3r

5 = 1/2 + 3r

3r = 9/2 / · 1/3

r = 3/2

a₂ = 1/2 + 3/2 = 2

a₃ = 1/2 + 2 · 3/2 = 3,5

a₄ = 5

a₅ = 1/2 + 4 · 3/2 = 6,5

a₆ = 1/2 + 5 · 3/2 = 8

 

d) a₂ = 3/2, a₅ = 3

 

a₁ + r = 3/2 / · 2

a₁ + 4r = 3

 

2a₁ + 2r = 3

a₁ + 4r = 3 / · (-2)

 

2a₁ + 2r = 3

-2a₁ - 8r = -6

 

- 6r = - 3

r = 1/2

 

a₁ + 1/2 = 3/2

a₁ = 1

 

a₁ = 1, a₂ = 3/2

a₃ = 1 + 2 · 1/2 = 2

a₄ = 1 + 3 · 1/2 = 2,5

a₅ = 1 + 4 · 1/2 = 3

a₆ = 1 + 5 · 1/2 = 3,5

 

2) a) a₁₅ = 52, a₄ = 19

 

a₁ + 14r = 52

a₁ + 3r = 19 / · (-1)

 

a₁ + 14r = 52

- a₁ - 3r = - 19

 

11r = 33

r = 3

 

a1 + 9 = 19

a₁ = 10

 

b) a₂ = 6, a₇ - a₄ = 12

 

a₁ + r = 6

a₁ + 6r - (a₁ + 3r) = 12

 

a₁+ r = 6

a₁ + 6r - a₁ - 3r = 12

 

3r = 12

r = 4

 

a₁ + 4 = 6

a₁ = 2

 

c) a₃ = -2 , a₅ = -8

 

a₁ + 2r = - 2 / · (-1)

a₁ + 4r = - 8

 

- a₁ - 2r = 2

a₁ + 4r = - 8

 

2r = - 6

r = - 3

 

a₁ - 6 = - 2

a₁ = 4

 

d) a₃ + a₆ = 29 , a₅ + a₁₁ = 50

 

a₁ + 2r + a₁ + 5r = 29

a₁ + 4r + a₁ + 10r = 50

 

2a₁ + 7r = 29 / · (-1)

2a₁ + 14r = 50

 

-2a₁ - 7r = - 29

2a₁ + 14r = 50

 

7r = 21

r = 3

 

2a₁ + 21 = 29

2a₁ = 8

a₁ = 4

 

3) a) 7+9+11+...+179

a₁ = 7, r = 2, an = 179

 

Żeby policzyć sumę, trzeba obliczy najpierw n:

179 = 7 + (n - 1) · 2

179 = 7 + 2n - 2

2n = 174

n = 87

 

Wstawiam do wzoru na sumę:

Sn = [1/2(7 + 179)] · 87 = 93 · 87 = 8091

 

b) 1+(-6)+(-13)+...+(-202)

- 202 = 1 + (n - 1) · (-7)

- 202 = 1 - 7n + 7

- 210 = - 7n

n = 30

 

Sn = [1/2(1 - 202)] · 30 = (- 201) · 15 = - 3015

 

4) n = 20, a₁ = 6, r = 6

 

S₂₀ =

 

 

5) a₁ = 11, r = 2, an = 99

 

99 = 11 + (n - 1) · 2

88 = 2n - 2

2n = 90

n = 45

 

S = [1/2(11 + 99)] · 45 = 55 · 45 = 2475