Question

Zad.
Oblicz pole równoramiennego trójkata prostokatnego, jesli:
a) jego obwód jest równy 6(1+√2 ) (prawidłowy wynik to 9)
b) jego przeciwprostokątna jest o 1+√2 dłuższa od przyprostokatnej) (prawidłowy wynik to 17/2 + 6√2 )

Answer 1

Zad.
Oblicz pole równoramiennego trójkata prostokatnego, jesli:
a) jego obwód jest równy 6(1+√2 ) (prawidłowy wynik to 9)

O = 6(1 + √2) - obwód trójkata prostokatnego równoramiennego
a - przyprostokatna
a - druga przyprostokatna
c - przeciwprostokatna
P = ? - pole trójkata

1. Obliczam przeciwprostokatną c
z tw. Pitagorasa
c² = a² + a²
c² = 2a²
c = √(2a²)
c = a√2

2. Obliczam bok a trójkata
O = 6(1 + √2)
O = a + a + c
O = 2a + a√2

2a + a√2 = 6(1 + √2)
a(2 +√2) = 6(1 + √2)
a = 6(1 + √2) : (2 + √2)
a = (6 + 6√2) : (2 + √2)*(2 -√2) : ( 2 -√2) usuwam niewymierność mianownika
a = (6 + 6√2)(2 -√2) : [ 2² -(√2)²]
a = [ 12 -6√2 +12√2 -6*2 ] : [ 4 -2]
a = [6√2] : 2
a = 3√2 [j]

3. Obliczam pole trójkąta
P = 1/2*a*a
P = 1/2*a²
P = 1/2*(3√2)²
P = 1/2*9*2
P = 9 [j²]

b) jego przeciwprostokątna jest o 1+√2 dłuższa od przyprostokatnej) (prawidłowy wynik to 17/2 + 6√2 )
a - przyprostokatna
a - a - druga przyprostokatna
c = a + 1 +√2 - przeciwprostokatna

1. Obliczam bok a
a : c = sin 45°
a = c*sin 45°
a = (a + 1 +√2 )*1/2*√2
a = 1/2*a*√2 + 1/2*√2 + 1/2*√2*√2
a = 1/2*a*√2 + 1/2*√2 +1/2*2
a = 1/2*a*√2 + 1/2*√2 +1
a - 1/2a*√2 = 1/2*√2 +1
a(1 -1/2*√2) = 1/2*√2 +1
a = [ 1/2*√2 +1] : [ 1- 1/2*√2]
a = [ 1/2*√2 +1] : [ 1- 1/2*√2] * [(1+1/2*√2) : (1+ 1/2*√2)] usuwam niewymierność mianownika

a = [ (1/2*√2)² + 2*1/2*√2 +1 ] : [ 1² -(1/2*√2)²]
a = [ 1/4*2 + √2 +1] : [ 1 - 1/4*2]
a = [1/2 +1 + √2] : (1 -1/2)
a = [ 3/2 +√2] : 1/2
a = 3/2*2 + 2*√2
a = 3 + 2√2 [ j]

2. Obliczam pole trójkąta
P = 1/2*a*a
P = 1/2*a²
P = 1/2*(3 + 2√2)²
P = 1/2(9 + 2*3*2√2 + 4*20
P = 1/2*(17 + 12√2)
P = 17/2 + 6√2 [j²]