Question

Rozwiąż nierówność:
2-3cosx/1-4cos²x>1 dla x∈(0;2π>

Sporządź wykres funkcji y = - 2cos(x+π/2)-1.Wyznacz jej: zbiór wartości Zw,okres podstawowy T,miejsca zerowe x₀,wartość najmniejszą y min,wartość największą y max.

Answer 1

Wybacz zapomniałem o tej nierównosci w poprzednim poscie..

2 - cos x / 1-4cos^2 x > 1
wiadomo że.
1-4cos^2x <> 0, czyli
1 <> 4cos^2x <=> 1/4 <> cos^2 x <=> |cos x| <> 1/2 czyli
x != 60 stopni, 120 stopni, 240 stopni, 300 stopni ...

I przypadek
1-4cos^2x>0
wtedy 2 - cosx > 1-4cos^2x <=>
1 - cos x > -4cos^2 x<=>
1 - cos x + 4cos^2 x > 0

II przypadek
1-4cos^2x<0
wtedy 2 - cosx < 1-4cos^2x <=>
1 - cos x < -4cos^2 x<=>
1 - cos x + 4cos^2 x < 0

Niech t = cos x
funkcja g(t) = 4t^2 - t + 1
Funkcja ta nie ma miejsc zerowych, w dodatku jest parabolą typu "U". Dla kazdego x z dziedziny funkcji wartosc > 0

Czyli taka jak w przypadku 1.
A zatem dla 2 przypadku nie znajdujemy zadnych rozwiązań...

Rozwiązaniem są x spełniające przypadek pierwszy.
1-4cos^2x > 0
cos^2 x < 1/4
|cos x| < 1/2

Z okręgu jednostowego łatwo można odczytac x spełniające ostatnią nierównosc.
π/3 + kπ < x+kπ < π/3 + kπ
dla k należącego do liczb całkowitych...

Jeśli chodzi o funkcje to ymin dla x = -π/2, wtedy y = -2*cos(0)-1 = -3, analogicznie ymax dla x = π/2, wtedy y = -2*cos(π)-1 = 1.

- 2cos(x+π/2)-1 = 0 <=>
cos(x+π/2) = -1/2 <=>
czyli x+π/2 = 2π/3 albo x+π/2 = 4π/3, czyli
x = π/6 albo x = 5π/6.

Miejsca zerowe ( π/6, 5π/6)