Question

1.Zbadaj monotonicznosc ciagu

= gdzie n E N+

2. rowerzysta w ciagu pierwszej godziny przejechal 19km, a w ciagu kazdej nastepnej godziny odcinek o 0,8km krotszy od poprzedniego, wiedzac ze w ciagu ostatniej godziny przejechal 15 km, oblicz

a) ile godzin jechAl rowerzysta

b) dlugosc drogi jaka pokonal rowerzysta

3. pierwszy wyraz ciegu geometrzycznego jest rowny 128, a ostatni 972. wiedzac ze suma wyrazow tego ciagu jest rowna 2660, oblicz

a) iloraz ciągu

b) liczbe wyrazow tego ciagu

4. wyznacz wszystkie wartosci m, dlaktorych ciag (m, m+1, 4m) jest skonczonym ciagiem geometrzycznym.

5. przy wykopie studni na metr glebokosci zaplacono 20zl, a kazdy nastepny o 10zl wiecej, niz za poprzedni. calkowity koszt wykopu studni wyniosl 1350zl. Jak gleboka jest studnia.

Answer 1

1.

an=2n-1/2n+1

an₊₁=2(n+1)-1/2(n+1)+1=2n+n-1/2n+2+1=2n+1/2n+3

an₊₁₋an=2n+1/2n+3-2n-1/2n+1=(2n+1)(2n+1)-(2n+3)(2n-1)/(2n+3)(2n+1)=4n²+2n+2n+1-4n²+2n-6n+3/4n²+2n+6n+4=4/4n²+8n+4=4/-1=-4 ciąg malejący

Δ=64-64=0

n=-8/2*4=-1

 

2.

pierwsza godzina - 19 km
2h - 19 km - 0,8 km = 18,2 km
3h -18,2 - 0,8 km = 17,4 km
4h - 17,4 km - 0,8 km = 16,6 km
5h - 16,6 km - 0,8 km = 15,8 km
6h - 15,8 - 0,8 = 15 km
a)Rowerzysta jechał 6 godzin
19km + 18,2km + 17,4km + 16,6 km + 15,8 km + 15km = 102 km
b) Łącznie pokonał trasę o długości 102 km.

 

3.

a1 = 128
an = 972
Sn = 2660

a)Korzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
a(n) = a1*q(do potęgi n-1)
a(n) = 128*q (do potęgi n-1) = 972
128*q (do potęgi n-1) = 972
q( do potęgi n-1) = 972 :128
q^n : q = 972 : 128
q^n = (972/128)*q
q^n = ( 243/32)*q
Korzystam teraz ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego
S(n) = a1*(1 - q^n): (1 -q)
S(n) = 128*(1 - q^n) : (1 - q) = 2660
128*(1 - q^n) : (1 - q) = 2660
(1 - q^n) : (1 - q) = 2660 : 128
(1 - q^n) : (1 - q) = 665 : 32
32*( 1- q^n) = (1 -q )*665
32 - 32*q^n = 665 - 665*q
-32*q^n + 665*q = 665 -32
-32*q^n + 665*q = 633
W miejsce q^n podstawiam q^n = (243/32)*q
-32*(243/32)*q + 665*q = 633
-243*q + 665*q = 633
422*q = 633
q = 633/422 (ułamek skracam przez 211)
q = 3/2
b)Obliczam ilość n wyrazów
q^n = (243/32)*q
(3/2)^n = (243/32)*(3/2)
(3/2)^n = (729/32)
(3/2)^n = (3/2)⁶
n = 6
Odp. Iloraz q = 3/2, a liczba wyrazów tego ciagu wynosi n = 6

 

4.

(m+1)²=m*4m

m²+2m+1=4m²

-3m²+2m+1=0

Δ=4+12=16

√Δ=4

m₁=-2-4/-6=1

m₂=-2+4/-6=-1/3

 

5.a1=20

r=10

s=1350

 

1350=40+10n-10/2*n /*2

2700=30n+10n²

0=10n²+30n-2700 /:10

0=n²+3n-270

Δ=1089 √Δ=33

 

n1=-3-33/2=sprzeczne

n2=-3+33/2=15

15 metrów