Question

1.wyznacz równanie prostej k prostopadłej do prostej l y=5x+1 przechodzącej prze punkt A=(10,-3) 2. wyznacz równiae okręgu o środku S=(3,-2) stycznego do osi OY. prosiłbym o rozwiązanie tych zadan i wytłumaczenie

Answer 1

zad 1

Dana są proste w postaciach kierunkowych:

l: y=a₁x+b₁

k: y=a₂x+b₂

Prosta l jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi następujący warunek (współczynniki kierunkowe obu funkcji są do siebie przeciwne i odwrotne):

a₁*a₂=-1

(przekształcając)

a₂=-1/a₁

-------------------

Prosta l: y=5x+1  stąd a₁=5

Współczynnik kierunkowy prostej k:

a₂=-1/a₁

a₂=-1/5

Czyli dostajemy wzór prostej k w postaci:

k: y=-1/5 x+b₂  (*)

Dalej z treści zadania wiemy, że funkcja przechodzi przez punkt A(10, -3), czyli należy podstawić do równnia (*) odpowiednio wartości x=10 oraz y=-3:

y=-1/5 x+b₂

-3=10*(-1/5)+b₂

-3=-2+b₂

-3+2=b₂

b₂=-1

Prost k prostopadła do prostej l zadana jest wzorem:

y=-1/5 *x -1

y=-x/5 -1

=================================

zad 2

Równanie okręgu o środku w punkcjie S(a, b) oraz promieniu r>0:

(x-a)²+(y-b)²=r²

Z informacji w zadaniu mamy środek okręgu, tj S(3, -2). Wtedy

a=3

b=-2

Podstawiając do wzoru:

(x-3)²+(y-(-2))²=r²

(x-3)²+(y+2)²=r²

Zadany okrąg styczny jest do osi Oy w punkcie A(0, y), tzn. że jego promień to odległość pomiędzy pierwszymi współrzędnymi środka okręgu S(a, b) oraz punktu A(0, y), tzn.:

r=|SA|=√(a²-0²)

r=|SA|=√(3²-0²)

r=|SA|=√9

r=|SA|=3

Podstawiając do wcześniej otrzymanego równania okręgu jest:

(x-3)²+(y+2)²=r²

(x-3)²+(y+2)²=3²

(x-3)²+(y+2)²=9

Answer 2

Zasanie1

postać kierunkowa prostej to y=ax+b, w tym przypadku jest to y=5x+1

proste prostopadłe mają współczyniki kierunkowe spełniające równanie a1*a2=-1

współczynnikiem kierunkowym prostej l jest liczba 5, dlatego współczynnk prostej prosopadłej obliczamy w ten sposób:

a1=5

5*a2=-1

a2=-1/5

podstawiamy do ogólnego wzoru  równania prostej y=ax+b

Zatem y=-1/5x+b

Szukamy b. Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt A=(10,-3). Wstawiamy do równania współrzędne punktu.
x=10

y=-3

-3=(-1/5)*10+b i obliczamy

-3=-2+b   /+2

-1=b

Mając b, możemy napisać postać kierunkową: y=-1/5x -1

 

Zadanie2

^2 - tak oznaczamy pierwiastek kwadratowy :)

Wzór na równanie okręgu o środku S = (a,b) i promieniu r to: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Patrząc na polecenie nie widzmy długości promienia, ale mamy podane, że okrąg jest styczny do osi OY. Jeżeli narysujesz sobie układ współrzędnych i zaznaczysz środek okręgu, zobaczysz, że promień ma taką długość, jaka jest odległość od środka do osi pionowej. Będzie to po prostu 3. I teraz mamy już wszystkie dane.

r=3

S=(3,-2)

Podstawiamy do wzoru współrzędne środka okręgu.

a=3

b=-2

(x-3)^2 + (y - (-2)) ^2 = r^2

(x-3)^2 + (y +2)^2 = 3^2

(x-3)^2 + (y +2)^2 = 9

Jeśli coś jest niejasne, pytaj ; )