Question

1.Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą.
2.Wykaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest liczbą parzystą.
3.Wykaż, że reszta z dzielenia przez 8 sumy kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest równa 2.

Answer 1

1.    k, k+1 - kolejne liczby całkowite
(k+1)² - k² = k² + 2k + 1 - k² = 2k + 1  ----> dla dowolnego k∈C   2k + 1 jest liczbą nieparzystą c.n.d. (co należało dowieść)

2.    2k - 1, 2k + 1 - kolejne liczby całkowite nieparzyste
(2k + 1)² + (2k - 1)² = 4k² + 4k +1 + 4k² - 4k +1 = 8k² + 2 = 2(4k² + 1)   ----->  dla dowolnego k∈C   2(4k² + 1) jest liczbą parzystą c.n.d.

3. 2k - 1, 2k + 1 - kolejne liczby nieparzyste
(2k + 1)² + (2k - 1)² = 4k² + 4k +1 + 4k² - 4k +1 = 8k² + 8k + 2 =   
8(k² + k) + 2   widać, że  8(k² + k) jest podzielna przez 8, a 2 to reszta z dzielenia przez 8  c.n.d.