Question

1.Wykaż, że jeśli n należy do N, to (n+2)4-n4 jest podzielne przez 8.

2. Dla jakich n nlaeży do N liczba n2+4n-8 jest kwadratem liczby naturalnej?

Answer 1

1.

 

2.

Oznacza to, że jeśli liczba jest kwadratem liczby naturalnej, to maksymalnie może być to kwadrat liczby . Z drugiej strony:

więc dana liczba nie może być kwadratem liczby mniejszej niż .

Zatem jedyna możliwa równość to:

 

Answer 2

(n+2)⁴-n⁴=n⁴+8n³+24n²+32n+16-n⁴=8(n³+3n²+4n+2) stąd dzieli się przez 8

 

n²+4n-8=n²

4n=8

n=2