Question

1)W trójkącie równoramiennym ABC, w którym bok AC=BC poprowadzono wysokość CD. Obwód trójkąta ABC wynosi 30cm, a obwód trójkąta ADC wynosi 20cm. Oblicz wysokość CD

2)Kąty aob i boc mają w sumie 210 stopni, a przedłożenie półprostej oa dzieli kąt boc na połowy. Oblicz miary kątów aob i boc

Answer 1

1)W trójkącie równoramiennym ABC, w którym bok AC=BC poprowadzono wysokość CD. Obwód trójkąta ABC wynosi 30cm, a obwód trójkąta ADC wynosi 20cm. Oblicz wysokość CD

Prostokąty ADC i BDC są przystające, zatem ich obwody są równe!

ObABC = AB+BC+CA = 30
ObADC = ObBDC = 20
ObADC = AD+DC+CA
ObBDC = BD+DC+CB

AD + DB = AB (bo D jest środkiem odcinka AB)

10 = 20 + 20 - 30 = ObADC + ObBDC - ObABC =
= AD + DC + CA + BD + DC + CB - AB - BC - CA =
= AD + BD + 2*DC + AC + BC - AB - BC - CA =
= AB + 2*DC + AC + BC - AB - BC - CA = 2*DC

Czyli 2*DC = 10
DC = 10 / 2 = 5
Czyli wysokość DC = 5


2)Kąty aob i boc mają w sumie 210 stopni, a przedłożenie półprostej oa dzieli kąt boc na połowy. Oblicz miary kątów aob i boc

Przedłużenie półprostej OA dzieli kąt BOC na połowę, czyli suma połowy kąta BOC oraz kąta AOB daje kąt półpełny, czyli 180 stopni

Czyli mamy:
AOB + BOC = 210
AOB + 0,5*BOC = 180

Od pierwszego równania odejmujemy stronami drugie:
AOB + BOC - AOB - 0,5*BOC = 210 - 180
0,5*BOC = 30
BOC = 30 / 0,5 = 60
AOB = 210 - BOC = 210 - 60 = 150