Question

1.W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 cm poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta prostego. Oblicz długość odcinków na jakie ta wysokość podzieliła przeciwprostokątną.

2. Jeden z boków prostokąta ma długość 20 cm. Jaka powinna być długość drugiego boku tego prostokąta, by był on podobny do prostokąta o bokach 12 i 15 cm.

3. Jaka jest skala podobieństwa dwóch kwadratów, jeśli pole jednego z nich jest o 36% mniejsze od pola drugiego.

4. Trapez równoramienny o podstawach 6 i 8 oraz kącie ostrym 45 stopni jest podobny do trapezu, którego ramienia długość 12. Oblicz obwody obydwu trapezów.

Answer 1

1)
a=3cm
b=4cm
3²+4²=c²
c=√(9+16)
c=√25=5cm

P=1/2ab=1/2·3·4=6cm²
6=1/2·c·h
6=1/2·5·h
6=5h/2
5h=12
h=12/5=2,4 cm
z pitagorasa
(2,4)²+x²=a²
5,76+x²=3²
x²=9-5,76
x=√(3.24)=1,8cm

y²+(2,4)=b²
y²+5,76=4²
y²=16-5,76
y=√(10,24)=3,2 cm
czyli odcinki na jekie podzielono przeciwprostokatna maja dlugosc :
1,8cm i 3,2cm

zad2
prosokat jeden ma 
1 bok a=20cm
2 bok b=?

drugi prostokat ma 
a`=15cm
b`=12cm
czyli 
a/a`=k
20/15=4/3=k 

b/b`=k
12/b`=4/3
4b`=36  /:4
b`=9 cm

lub
20/12=5/3=k
b`/15=5/3
3b`=75
b`=75/3=25 cm

zatem drugi bok prostokata moze miec dlugosc 9cm lub 25 cm


zad3
pole 1 kwadratu =P
pole 2 kwaratu  P`=P-36%P=P-0,36P=0,64P
zatem k²=P`/P=(0,64P)/P=0,64  to k=√(0,64)=0,8=8/10=4/5 
czyli skala podobienstwa k=4/5 lub k=5/4 

zad4
trapez podobny ma podstawy :
a=6
b=8
x=(b-a)/2=(8-6)/2=2/2=1 --->czesc po bokach dluzszej podstawy trapezu

z wlasnosci kata ostrego 45stopni wynika zaleznosc :
x=h=1 --->wysokosc trapezu
x√2=1·√2=√2=c --->ramie trapezu podobnego 
obwod trapezu wynosi zatem
O=a+b+2c=6+8+2·√2=14+2√2=2(7+√2) 

wiadomo ze drugi trapez  ma ramie c`=12
zatem c/c=√2/12=k---->skala podobienstwa
a/a`=k
6/a`=√2/12
a`√2=6·12
a`√2=72
a`=72/√2=72√2/2=36√2 

b/b`=k
8/b`=√2/12
b`√2=12·8
b`√2=96
b`=96/√2=96√2/2=48√2 

zatem obwod drugiego trapezu wynosi:
O`=a`+b`+2·c`=36√2+48√2+1·12=84√2+12=12(7√2+1)