Question

1)W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierzchołku C i kącie
ostrym α przy wierzchołku A dane są długości boków: │AB│ = 4 i │BC│ = 3. Wtedy: cos α=?
2)Wartość wyrażenia a² – b dla a = sin α + cos α i b = 2sin α × cos α
3)Wartość wyrażenia cos⁴ α – sin⁴ α dla α = 30° wynosi?

Answer 1

1.
|AB| = 4
|BC|=3
Jak wiemy, w trójkącie prostokątnym c²=a²+b²
To jest trójkąt pitagorejski b=3, a=4, c=5.
Cosinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej przy tym kącie do przeciwprostokątnej.
Więc:
cosα = 4/5

2.
a = sinα + cosα
b = 2 * sinα * cosα
a² - b = (sinα + cosα)² - 2 * sinα * cosα = sin²α + 2 * sinα * cosα + cos²α - 2 * sinα * cosα = sin²α + cos²α = 1

Ponieważ suma kwadratów sin i cos α to tak zwana jedynka trygonometryczna.

3.
α = 30⁰
sin 30⁰ = 0,5
cos⁴α - sin⁴α = (cos²α)² - sin⁴α = (1 - sin²α)² - sin⁴α = 1 - 2sin²α + sin⁴α - sin⁴α = 1 - 2sin²α = 1 - 2 * 0,5² = 1 - 2 * 0,25 = 0,5



Raczej dobrze, ale zważywszy na porę lepiej sprawdź ; )