Question

1.

W trapez równoramienny wpisano okrąg, którego średnica na długość 8 cm. Obwód trapezu jest równy 40 cm. Olicz:

a) pole trapezu

b)długość boków trapezu

c) sinus kąta ostrego przecięcia przekątnych tego trapezu.

2.

Różnica pól dwóch kwadratów jest równa 19. Oblicz długości boków tych kwadratów, wiedząc że wyrażają się one liczbami naturalnymi.

Answer 1

Zad. 1

Oznaczenia - patrz załącznik:

dłuższa podstawa trapezu: |AB| = a

krótsza postawa trapezu: |CD| = b

ramiona trapezu: |AD| = BC| = c

wysokość trapezu jest równa średnicy okręgu wpisanego w ten trapez:

|EF|= |DG| = CH| = h = 8 cm

przekątne trapezu: |AC| = BD| = d

kąt ostry między przekątnymi: α

Pole trapezu: P

Obwód trapezu: Obw = a + b + 2c = 40 cm

 

a)

W trapez wpisano okrąg, a wiemy, że "w czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe", zatem:

a + b = c + c

a + b = 2c

Z treści zadania:

a + b + 2c = 40

Stąd:

2c + 2c = 40

4c = 40 /:4

c = 10

a + b = 2c = 2·10 = 20

h = 8

 

Odp. Pole trapezu wynosi 80 cm².

 

b)

h = 8; c = 10; a + b = 20

 

ΔAGD - trójkąt prostokątny, zatem z tw. Pitagorasa:

|AG|² + |DG|² = |AD|²

x² + h² = c²

x² + 8² = 10²

x² + 64 = 100

x² = 100 - 64

x² = 36

x = √36

x = 6

 

a = 2x + b

a = 2·6 + b

a = 12 + b

 

a + b = 20

Stąd:

12 + b + b = 20

12 + 2b = 20

2b = 20 - 12

2b = 8 /: 2

b = 4

 

a = 12 + b

a = 12 + 4

a = 16

 

Odp. Boki trapezu mają długość: 16 cm, 4 cm, 10 cm, 10 cm.

 

c)

P = 80 cm², h = 8 cm, a = 16 cm, b = 4 cm, x = 6 cm

 

Pole każdego czworokąta równa się połowie iloczynu długości jego przekątnych przez sinus kąta zawartego między nimi. W trapezie równoramiennym przekątne są równe, zatem:

Stąd:

 

ΔACH - trójkąt prostokątny, zatem z tw. Pitagorasa:

|AC|² = |AH|² + |CH|²

d² = (a - x)²+ h²

d² = (16 - 6)² + 8²

d² = 10² + 64

d² = 100 + 64

d² = 164

 

 

Odp. Sinus kąta ostrego przecięcia przekątnych trapezu wynosi

 

Zad. 2

P₁, P₂ - pola kwadratów

P₁ = a²; P₂ = b²

P₁ - P₂ = 19

a² - b² = 19

(a - b)(a + b) = 19

19 to liczba pierwsza, zatem 19 = 1 · 19, stąd:

{a - b = 1

{a + b = 19

_________

2a = 20 /:2

a = 10

 

a + b = 19

10 + b = 19

b = 19 - 10

b = 9

 

{a = 10

{b = 9

 

Odp. Boki kwadratów mają długość 10 i 9.

 

 

 

Answer 2

Obliczamy boki

wg załączonego rysunku

x/r=r/y

r^2=xy

4y+4x=40

x+y=10

x=10-y

r^2=(10-y)y

r^2=10v-y2

y^2-10y+16=0

Δ=100-64=36

(Δ)^(1/2)=6

y1=2

y2=8

x1=10-2=8

x2=10=8=2

y>x

x=2; y=8

a=2y=16

b=2x=4

 

obliczamy wysokść

h^2=(x+y)^2-((a-b)/2)^2

h^2=10^2-6^2=64

h=8

 

Obliczamy kat ϕ

hp, wysokość punktu przecięcia przekątnych

hp/h=y(y+x)

hp/h=8/10

hp=6,4

 

hp/(y)=tgα

α= atan (6,4/8)=38,66

ϕ=180-(180-2α)=2α

ϕ= 2*38,66=77,32

 

Pole

P=(x+y)*h= 10*8=80 cm^2

 

Przekątna

p^2=h^2+((a+b)/2)^2

p^2=164

p=  164^(1/2)=12,8

 

2.

Różnica pól dwóch kwadratów jest równa 19. Oblicz długości boków tych kwadratów, wiedząc że wyrażają się one liczbami naturalnymi.

 

a2 − b2 = 19

(a − b)(a + b) = 19

a − b = 19

a + b = 1

dodajemy

2a=20; a=10

b=1-10=-9

 

lub

a − b = 1

a + b = 19

2a = 20; a = 10

b= 19-10=9

ta para spełnia założenia

 

10^2-9^2=19