Question

1.W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 4 cm a kąt między krawędzią boczną a przekątną podstawy ma miarę 60⁰. Wyznacz długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa oraz jego objętość.

Answer 1

a=4 cm - długość krawędzi podstawy

α=60° - kąt nachylenia krawędzi bocznej

h - wysokość ostrosłupa

d - przekątna podstawy

k - krawędź boczna

------------------------

1. Długość przekątnej podstawy (kwadratu):

d=a√2

d=4√2

------------------------

2. Długość krawędzi bocznej:

[Wysokość, połowa przekątnej podstawy oraz krawędź boczna tworzą tαrójkąt prostokątny]

cosα=[d/2]/k

cos60°=1/2

1/2=2√2/k

k=4√2

------------------------

3. Wysokość ostosłupa:

tgα=h/[d/2]

tg60°=√3

√3=h/2√2

h=2√6

------------------------

4. Objętość ostrosłupa:

V=Pph/3

V=a²h/3

V=4²*2√6/3

V=32√6/3  [j³]

Answer 2

 a=4cm

α=60 st

w podstawie lezy kwadrat, wyznaczmy jego przekatna

d=a√2

d=4√2 cm

1/2 d=2√2 cm

rozpatrujemy Δ prostokatny, w ktorym jest wysokosc ostroslupa (H), polowa przekatnej podstawy(1/2 d), krawedz boczna (k) i katα 

ze zwiazkow w Δ o katach 60 st i 30 st mamy

k=2·4√2=8√2 cm

=====================

H=4√2·√3=4√6 cm

V=1/3 a²H

V=1/3·16·4√6

V= 64√6/3   cm³

Dlugosc krawedzi bocznej wynosi 8√2 cm, a objetosc rowna jest 64√6/3 cm³