Question

1.Uzasadnij, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie.
2. Odległość między środkami okręgów stycznych zewnętrznie
i stycznych do ramion kąta jest równa 10 cm.
Odległość środka mniejszego okręgu od wierzchołka
kąta jest równa 20 cm. Oblicz długości promieni tych
okręgów.

Answer 1

1.No to najpierw zrobię zadanie 7. Udowodnienie że są równoległe:
-z twierdzenia Talesa wiemy że jeżeli zachodzi proporcja ad/ae = bd/ce to odcinki de i bc są równoległe(rys. tales.jpg). W naszym przypadku d jest środkiem ab, a e jest środkiem ac z czego wynika, że ad=bd oraz ae=ce.
Czyli równanie ad/ae = bd/ce możemy przekształcić w bd/ce = bd/ce co jest prawdą, więc na pewno oba odcinki są równoległe :)

Udowodnienie, że de = 1/2bc :
z działań na wektorach wiemy wynika, że:
bc+ce+de+bd=0
de-ad-ae=0
wiemy,że: ad=bd oraz ae=ce, więc można to zapisać tak:
bc+ce+de+bd=0
de-bd-ce=0
po dodaniu stronami wychodzi nam:
bc+ce+de+bd+de-bd-ce=0
bc+2de=0
bc=-2de
i wychodzi że bc jest 2x większe od de (minus oznacza tylko tyle, że wektory mają przeciwny zwrot)