Question

1.

Udowodnij, że funkcja :

jest nieparzysta w zbiorze R

2.

Dana jest funkcja:

taka, że

i

Wykaż, że jest funkcją parzystą.

PS

Proszę o rozwiązanie w miarę krok po kroku, tak abym mógł się w tym połapać :)

Answer 1

1. Błąd Latexa, napisz równanie jeszcze raz

//edit:

funkcja nieparzysta to taka która spełnia zależność: f(x)=-f(-x)
Spróbujmy podstawić tutaj nasze funcje:
f(x) =  [tex]f(x) = \sqrt{1 + x^{2}} + x-1}[\tex]
-f(-x) - musimy wszystkie x wymienić na -x i przed funkcją dać jeszcze -.
-f(-x) [dla drugiej funkcji] =[tex]- (\sqrt{1 + x^{2}} -x+1)[\tex] x^2 nie zmienia znaku, bo -x podniosiony do kwadratu jest równi x podniesionemy do kwadratu. Likwidujemy -(minus) na początku (czyli zamieniamy wszystkie znaki w równaniu

[tex] \sqrt{-1 - x^{2}} +x-1[\tex] no i tutaj musimy odwołać się do zbioru R. Pierwiastek z liczby rzeczywitej nie moze być mniejszy od 0 (jest to możliwe tylko w ciele liczb zespolonych), więc musimy niejako wyciągnać sobie wartość bezwzględną i otrzymujemy:

 

[tex] \sqrt{1 + x^{2}} +x-1[\tex]
Czyli nasze f(x) = -f(-x)
co kończy dowód.

 

2. Wystarczy szybko spojrzeć do definicji funkcji parzystej:
f(x)=f(-x)
w naszym przypadku mamy podane dwie właściwości funkcji:
f(-1)=f(1) i f(-2)=f(2)
Jak widać jeśli do f(x)=f(-x) podstawimy -1 i -2 to otrzymamy to samo. A wiec funkcja jest parzysta.