Question

1.Trzy liczby , których suma jest równa 93 tworzą ciąg geometryczny . Te same liczby stanowią również pierwszy , drugi i siódmy wyraz ciągu aretmetycznego .Wyznacz te liczby .

2. Ciąg an jest c.arytmetycznym.Oblicz a10 i sumę 19−stu pczątkowych wyrazów tego ciągu wiedząc że a4+a8+a12+a16=224 . Czy w tym zadaniu wychodzi ciąg stły i a10 =56?

Answer 1

Zad. 1

x, y, z - liczby tworzące ciąg geometryczny

 

Z treści zadania:

x + y + z = 93

 

Na podstawie twierdzenia: Każdy wyraz ciągu geometrycznego z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego dla ciągu skończonego) jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego:

y² = x · z

 

Stąd:

{x + y + z = 93

{y² = x · z

 

Z treści zadania na podstawie informacji o ciągu arytmetycznym:

x = a₁

y = a₂

z = a₇

gdzie a₁, a₂ i a₇ to wyrazu ciągu arytmetycznego.

n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem:

,

gdzie r to różnica ciągu arytmetycznego, czyli:

y = a₂ = a₁ + r

z = a₇ = a₁ + 6r

 

Stąd otrzymujemy:

{a₁ + a₁ + r + a₁ + 6r = 93

{(a₁ + r)² = a₁ · (a₁ + 6r)

 

{3a₁ + 7r = 93

{a₁² + 2a₁r + r² = a₁² + 6a₁r

 

{3a₁ + 7r = 93

{a₁² + 2a₁r + r² - a₁² - 6a₁r = 0

 

{3a₁ + 7r = 93

{r² - 4a₁r = 0

 

{3a₁ + 7r = 93

{r · (r - 4a₁) = 0

 

{3a₁ + 7r = 93    lub   {3a₁ + 7r = 93

{r  = 0                           {r - 4a₁ = 0

 

{3a₁ + 7 · 0 = 93    lub   {3a₁ + 7r = 93

{r  = 0                               {r = 4a₁

 

{3a₁ + 0 = 93    lub   {3a₁ + 7 · 4a₁ = 93

{r  = 0                          {r = 4a₁

 

{3a₁ = 93 \ : 3    lub   {3a₁ + 28a₁ = 93

{r  = 0                          {r = 4a₁

 

{a₁ = 31    lub   {31a₁ = 93  \:31

{r  = 0                 {r = 4a₁

 

{a₁ = 31    lub   {a₁ = 3

{r  = 0                 {r = 4 · 3

 

{a₁ = 31    lub   {a₁ = 3

{r  = 0                 {r = 12

 

Zatem:

- jeśli a₁ = 31 i r = 0, to

x = a₁ = 31

y = a₁ + r = 31 + 0 = 31

z = a₁ + 6r = 31 + 6 · 0 = 31 + 0 = 31

(31, 31, 31)

 

- jeśli a₁ = 3 i r = 12, to

x = a₁ = 3

y = a₁ + r = 3 + 12 = 15

z = a₁ + 6r = 3 + 6 · 12 = 3 + 72 = 75

(3, 15, 75)

 

Odp. Szukane liczby to:  31, 31, 31 lub 3, 15, 75.

 

Zad. 2

an - ciąg arytmetyczny

 

a₄ + a₈ + a₁₂ + a₁₆ = 224

a₄ = a₁ + 3r

a₈ = a₁ + 7r

a₁₂ = a₁ + 11r

a₁₆ = a₁ + 15r

Stąd:

a₁ + 3r  + a₁ + 7r + a₁ + 11r + a₁ + 15r = 224

4a₁ + 36r = 224  /:4

a₁ + 9r = 56

Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

a₁₀ = a₁ + 9r

Zatem:

a₁ + 9r = a₁₀ = 56

 

Suma n kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) wyraża się wzorem:

 

Zatem:

 

a₁₀ = a₁ + 9r

a₁ = a₁₀ - 9r = 56 - 9r

 

a₁₉ = a₁ + 18r  = a₁ + 9r + 9r = a₁₀ + 9r = 56 + 9r

 

Stąd:

 

Odp. a₁₀ = 56 i S₁₉ = 1064

 

---------------------------------

Czy w tym zadaniu wychodzi ciąg stały i a₁₀ = 56? Tak